Matrice associata ad un'applicazione lineare (Geometria I)

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Testo dell'esercizio:

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In $RR^4$ sono dati i vettori $v_1=(1,2,0,1),$ $v_2=(1,0,1,0),$ $v_3=(-1,0,0,-2),$ $v_4=(0,1,0,-1)$, dopo aver verificato che costituiscono una base $C$ di $RR^4$, si consideri l'endomorfismo g così definito:

$g(v_1)=v_1,$ $g(v_2)=2v_1+v_2,$ $g(v_3)=-v_2+v_3,$ $g(v_4)=v_3$

Si scrivano le matrici associate a $g$ sia rispetto alla base $C$ sia rispetto alla base canonica $B$ di $R^4.$
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Potreste dirmi, anche a parole, come risolvereste l'esercizio passaggio per passaggio? Attualmente, l'unica cosa che ho fatto è verificare che $C$ è una base di $RR^4$, perchè la matrice dei vettori messi in riga ha rango $4$, e sono linearmente indipendenti. Per il resto BUIO TOTALE...







Lettura facoltativa, Che cosa so: Conosco la relazione che lega la matrice associata $A$ di un endomorfismo quando a entrambi gli spazi si cambia la stessa base, ed è la strana formula $A'=P^-1AP$. Conosco la relazione per il cambiamento di base in uno spazio, che è $X=PX'$, dove $X$ è la forma matriciale di un vettore generico dello spazio e $P$ è la matrice dei componenti della nuova base rispetto alla vecchia messi in colonna. So anche trovare agevolmente la matrice associata a qualsiasi tipo (per modo di dire) di applicazione lineare.

Ringrazio molto i gentili utenti.

[Tipper]

Le coordinate dei vettori $v_i$, $i=1,2,3,4$, rispetto alla base $C$, sono

$v_1 = (1,0,0,0)$, $v_2 = (0,1,0,0)$, e così via. Pertanto la prima colonna della matrice, cioè $g(v_1)$, sarà $v_1 = ((1),(0),(0),(0))$, la seconda sarà $g(v_2) = ((2),(0),(0),(0)) + ((0),(1),(0),(0))$, e così via.

Per quanto riguarda la base canonica, inizia con lo scrivere i vettori $v_i$ come combinazione lineare dei versori fondamentali di $\mathbb{R}^4$.

[Help]

Capito. thx