ringrazio tutti in partenza per la pazienza
sia $xi$ un vettore fissato in uno spazio vettoriale $V=RR^4$. sia $WsubV$ l'insieme di tutti i vettori perpendicolari a $xi$.
si dimostri che la distanza tra un vettore albitrario $x\inV$ e il sottospazio W è $rho_((x,W))=|<xi,x>|/|xi|$ dove con $<xi,x>$ è indicato il prodotto scalare tra i due vettori.
sol:
caso banale: se $|<xi,x>|=0->|costheta|=0->theta=pi/2$ quindi $xsubW$, infatti la distanza è nulla, ok...
essendo in $RR^4$, possiamo definire il luogo geometrico di W.
dette $(a,b,c,d)$ le coordinate di $xi$ e $(x,y,z,t)$ le coordinate di un vettore $y\inW$ si ha che
$W:ax+by+cz+dt=0$
quindi, se calcoliamo la distanza punto piano, otteniamo $d_((x,W))=|<x,W>|/|W|$ ma i coefficienti di W nella formula sono $(a,b,c,d)$ che sono le componenti del vettore perpendicolare al piano, quindi per definizione del testo, non è altro che $xi$. da quest segue che $d_((x,W))=|<x,xi>|/|xi|$, cvd.
giusto?
