Derivate direzionali

[matths87]

E' data la funzione a due variabili reali definita da

$f(x,y)=\frac{x^2*\^3sqrt(x)}{x^2+y^2}+\log(y^2+1)$

Dimostrare che la funzione è prolungabile per continuità nell'origine ponendo $f(0,0)=0$. Far vedere inoltre che la funzione ammette tutte le derivate direzionali in $(0,0)^T$.

Per il primo quesito non ci sono problemi (basta calcolare il limite di $f(x,y)$ per $(x,y)\to0$). Per calcolare le derivate direzionali (una volta fissato un versore $(a,b)^T$) risolvo questo limite:

$\lim_{t\to0}\frac{a^2*t^2*(at)^(1/3)}{t^3}+(\log(b^2*t^2+1))/t$.

Il secondo addendo (quello col logaritmo) tende a 0, mentre il primo tende va all'infinito. Dove sbaglio? Dal testo dell'esercizio mi aspetterei un limite finito.

[pat87]

Scusa ma da dove tiri fuori questo limite?

La definizione di derivata direzionale in $(x_0,y_0)$, dato un versore $A:= (a,b)$, $||A|| = 1$ è data da:
$D_A f(x_0,y_0) = lim_(t->0) (f(x_0 +ta, y_0 + tb) - f(x_0,y_0))/(t)$
Sicuro che esca fuori quel limite?
In tal caso non saprei che risponderti, provo a guardare meglio il limite...ah ricordati che a e b devono soddisfare $a^2 + b^2 = 1$, perciò sono tutti e due minori o uguali a 1.
Ciao!

[matths87]

Posto i passaggi completi. Fisso un versore $(a,b)^T$ (per definizione di versore, $a^2+b^2=1$). Quindi:

$\lim_{t\to0}\frac{f(0+at,0+bt)-f(0,0)}{t}

A questo punto, sostituendo e ricordando che $f(0,0)=0$, arrivi al limite che ho scritto nel precedente post. Salvo errori di conto, almeno...