vettori e funzioni invertibili

[dave03]

è da tempo che non riguardavo quest'argomento, e affrontando un esercizio di algebra lineare sono rimasto perplesso su un punto....

l'esercizio dice: data una funzione $f:R^3->R^3

con $f(a,b,c) = (2a+b+3c , a+2b-3c , 4a+3b+3c)

calcolare $f^(-1)(0,0,0)

questo significa risolvere il sistema

$2a+b+3c = 0
$a+2b-3c = 0
$4a+3b+3c = 0

che ha come soluzione:
$b=3c
$a = -3c

cioè tutti i vettori nella forma: $(-3alpha, 3alpha, alpha)

ma sta cosa mi ha lasciato un dubbio: se f è una funzione invertibile, allora f deve essere biiettiva, cioè iniettiva e suriettiva....ma allora se f è iniettiva il vettore che ha come immagine (0,0,0) non dovrebbe essere uno solo e non tutti quelli nella forma $(-3alpha, 3alpha, alpha)?

grazie a tutti di eventuali chiarimenti

[codino75]

forse non e' invertibile... o meglio, se il calcolo del sistema che hai fatto e' giusto, e' sicuro che non e' invertibile.

[Camillo]

La funzione f non è in effetti iniettiva ; $dim kerf = 1 $ e quindi $ dimImf = 3-1 = 2 $ e quindi non è neppure suriettiva.

[Fioravante Patrone]

è da tempo che non riguardavo quest'argomento, e affrontando un esercizio di algebra lineare sono rimasto perplesso su un punto....

...

calcolare $f^(-1)(0,0,0)

...

ma sta cosa mi ha lasciato un dubbio: se f è una funzione invertibile, allora f deve essere biiettiva, cioè iniettiva e suriettiva....ma allora se f è iniettiva il vettore che ha come immagine (0,0,0) non dovrebbe essere uno solo e non tutti quelli nella forma $(-3alpha, 3alpha, alpha)?

C'è una piccola ambiguità notazionale.
Qui $f^(-1)(0,0,0)$ indica ciò che "dovrebbe" essere indicato come $f^(-1){(0,0,0)}$. Ovvero la controimmagine di un insieme, che è definita anche senza che la $f$ sia bigettiva, ovvero anche qualora non sia definita la funzione $f^{-1}$.

[fu^2]

è da tempo che non riguardavo quest'argomento, e affrontando un esercizio di algebra lineare sono rimasto perplesso su un punto....

l'esercizio dice: data una funzione $f:R^3->R^3

con $f(a,b,c) = (2a+b+3c , a+2b-3c , 4a+3b+3c)

calcolare $f^(-1)(0,0,0)

questo significa risolvere il sistema

$2a+b+3c = 0
$a+2b-3c = 0
$4a+3b+3c = 0

che ha come soluzione:
$b=3c
$a = -3c

cioè tutti i vettori nella forma: $(-3alpha, 3alpha, alpha)

ma sta cosa mi ha lasciato un dubbio: se f è una funzione invertibile, allora f deve essere biiettiva, cioè iniettiva e suriettiva....ma allora se f è iniettiva il vettore che ha come immagine (0,0,0) non dovrebbe essere uno solo e non tutti quelli nella forma $(-3alpha, 3alpha, alpha)?

grazie a tutti di eventuali chiarimenti

se con $f^(-1){(0,0,0)}$ indici la controimmagine di f, e non la sua funzione inversa allora esiste.
f è ineare allora quello che trovi è ne + ne meno il ker di f.
o no?

[Fioravante Patrone]

se con $f^(-1){(0,0,0)}$ indici la controimmagine di f, e non la sua funzione inversa allora esiste.
f è ineare allora quello che trovi è ne + ne meno il ker di f.
o no?

certo