spazio compatto e T2

[blunotte]

Buongiorno, ho un quesito da porvi che mi sta bloccando da ieri. Ho X spazio topologico compatto e T2 (di Hausdorff) e mi si chiede di verificare o portare un controesempio della seguente affermazione: l'unione di una sua famiglia di compatti è compatta.
Come prima cosa ho notato che poiché X è T2 ogni suo sottinsieme compatto è chiuso e poiché X è anche compatto, ogni suo sottoinsieme chiuso è compatto. La conclusione è che un sottoinsieme di X è compatto se e solo se è chiuso.
Ora passiamo all'affermazione che devo dimostrare: sia $K = \bigcup_{i \in I} K_i$ con $K_i$ compatti allora $K$ é compatto? In pratica credo che dovremmo dimostrare che l'unione infinita di chiusi in uno spazio compatto e T2 è chiusa (cosa che in generale non è vera). Nel caso finito è ovviamente verificato. A naso mi verrebbe da dire che è vero anche se $I$ è infinito, ma non riesco a dimostrarlo!! Qualcuno ha qualche idea?

[Fioravante Patrone]

In $RR$.
$QQ$ è unione (infinita) di singleton, che sono compatti...


EDIT: beh, sì, $RR$ non è compatto. Basta prendere $[0,1]$, come dice Sandokan (vedi sotto)

[Chevtchenko]

Buongiorno, ho un quesito da porvi che mi sta bloccando da ieri. Ho X spazio topologico compatto e T2 (di Hausdorff) e mi si chiede di verificare o portare un controesempio della seguente affermazione: l'unione di una sua famiglia di compatti è compatta.

Ovviamente è falso: basta prendere $X = [0, 1]$ con la topologia usuale e come famiglia di compatti la famiglia dei singleton ${x}$ con $x \in (0, 1)$.

@Fioravante
Veramente si richiedeva $X$ compatto...

[Fioravante Patrone]

@Fioravante
Veramente si richiedeva $X$ compatto...

è un dettaglio secondario

[Chevtchenko]

@Fioravante
Veramente si richiedeva $X$ compatto...

è un dettaglio secondario

Già

[blunotte]

Anche io avevo pensato a [0,1] inizialmente, ma non riuscivo a trovare una famiglia di compatti 'adatta'!! Ed era così semplice invece!! Grazie mille.. A volte anche le cose più banali hanno bisogno di spiegazioni