basi ortonormali

[Kobra]

stavo studiando un esercizio e mi è venuto questo dubbio:

ho un endomorfismo da $R^3$ in $R^3$ a cui è associata la matrice
$A=[(101),(012),(121)]$ diagonalizzabile
devo trovare una base di autovettori ortonormale
ok, trovo gli autovalori da cui deriva lo spettro che è $sp(A)=[1;1+sqrt(5);1-sqrt(5)]
fino a qui tutto a posto
ora il libro dice che "risolvendo i relativi sistemi troviamo"
$V1=span((2) ,(1) ,(0))$
$V(1+sqrt(5))=span((1),(2),(sqrt(5)))$
$V(1-sqrt(5))=span((1),(2),(-sqrt(5)))$

e si ottiene la base ortonormale
$[(-2/sqrt(5)), (1/sqrt(5)), (0))];[(1/sqrt(10)),(2/sqrt(10)),(1/sqrt(10))];[(1/sqrt(10)), (2/sqrt(10)), (-1/sqrt(2))]$

e non riesco a capire come mai svolge così gli ultimi 2 passaggi cioè che procedimento usa per trovare gli autospazi e perchè la base è formata da quei valori

[elgiovo]

I sistemi da risolvere sono $Av=lambdav$, dove $A$ è la matrice, $lambda$ è un suo autovalore e $v$ è l'autovettore incognito.
Io trovo gli autovettori $((2),(-1),(0))$, $((-sqrt5/5),(-2sqrt5/5),(-1))$, $((sqrt5/5),(2sqrt5/5),(-1))$.
Infine, poichè una base ortonormale è costituita da vettori unitari, questi ultimi vanno divisi per la loro norma,
quindi la base richiesta è $((2/sqrt5),(-1/sqrt5),(0))$, $((-sqrt5/(5sqrt2)),(-2sqrt5/(5sqrt2)),(-1/sqrt2))$, $((sqrt5/(5sqrt2)),(2sqrt5/(5sqrt2)),(-1/sqrt2))$.
PS non ho controllato se, oltre ad essere normali, i vettori sono anche orto, basta un semplice prodotto scalare.
In caso contrario, puoi ricorrere al processo di ortonormalizzazione di Graham-Schmidt.

[Kobra]

ok grazie tante ora provo a rifarlo da me per vedere se mi riesce