matrici nilpotenti

[Martino]

No, non parlo di diagonalizzabilità ma di triangolarizzabilità.

Se sei su un campo algebricamente chiuso (per esempio $CC$), ogni matrice quadrata è simile ad una matrice triangolare superiore. Ne segue che ti basta mostrare che le matrici triangolari superiori nilpotenti hanno traccia nulla. E questo è più facile.

Se non sei su un campo algebricamente chiuso (per esempio, se sei su $RR$), non è grave: guardi la tua matrice in una chiusura algebrica (per esempio $CC$ nel caso di $RR$) fai lo stesso lavoro di prima e concludi che la tua matrice ha traccia nulla vista sulla chiusura algebrica, e quindi anche sul campo di partenza.

[delca85]

Grazie davvero.Ora sono un po' fusa,ci penso un pochino poi domattina scrivo e se quando hai tempo dai un'occhiata mi dici se ti sembra che abbia capito.Grazie ancora e notte!

[delca85]

Ciao!Ecco cosa ho pensato io:
Se $t$ è autovalore della matrice $A$,$t^n$ è autovalore di $A^n$.Quindi se $0$ è autovalore di $A^n$,è anche autovalore di $A$.Anche se non so se per questo si può dire che allora $A$ ha traccia nulla..

[Martino]

In effetti, non basta.

Prova a risolvere il problema quando la matrice è triangolare superiore.

Prova a pensare: se A è una matrice triangolare superiore, cosa puoi dire di $A^2$? E' ancora triangolare superiore? E cosa puoi dire della diagonale di $A^2$ per rapporto alla diagonale di A ?

[Martino]

Mi è appena venuto in mente un metodo più semplice!

Se A è una matrice nilpotente allora ammette zero come unico autovalore. Infatti se a è un autovalore di A e Av=av per un certo autovettore associato v allora $0=A^n v=a^n v$, e quindi se v non è il vettore nullo, a=0. Un modo più complicato di dirlo è che dato che $A^n=0$, per Hamilton Cayley il polinomio minimo di A è della forma $x^k$, e poiché polinomio minimo e polinomio caratteristico hanno le stesse radici, gli autovalori di A (cioè le radici del polinomio caratteristico) sono tutti nulli. [non dico questo per fare il saccente, ma per 'spaziare' e dare un senso 'globale' all'esercizio ]

Ora, gli elementi diagonali di una matrice triangolare superiore sono autovalori per tale matrice...

[delca85]

Allora,siamo arrivati a dimostrare che una matrice nilpotente ha autovalori tutti 0,giusto?Se così fosse non stiamo dicendo che è simile alla matrice nulla,cosa che abbiamo detto impossibile?(scusa se insisto ma sto cercando di capire)E quello che avevo scritto oggi pomeriggio era giusto?
Grazie!

[Martino]

Quello che hai scritto oggi pomeriggio è giusto.

Non è vero che se una matrice ha autovalori tutti nulli allora è la matrice nulla. Per esempio la matrice

$((0,1),(0,0))$

non è la matrice nulla ma ammette solo 0 come autovalore.

[delca85]

NO però scusa se ha autovalori tutti ed è diagonalizzabile non è simile ad una matrice diagonale che ha sulla diagonale i suoi autovalori e cioè in questo caso la matrice nulla?Il discorso è che appunto le matrici nilpotenti non sono diagonalizzabili..?

[Martino]

Esatto. L'unica matrice nilpotente diagonalizzabile è la matrice nulla

[delca85]

Ok.Dunque,per ora siamo arrivati a dire che le matrici nilpotenti hanno come unico autovalore 0.Dunque nel polinomio caratteristico sappiamo che anche il termine noto è 0.Termine noto che nel polinomio caratteristico rappresenta il determinante della matrice moltiplicato per $(-1)^n$.Quindi il determinante è nullo,cosa vera nelle matrici nilpotenti ma che non mi dice niente sulla traccia della matrice.
Devo lavorare sul discorso che mi facevi tu riguardo la matrice triangolare?[/spoiler]