Altro esercizio di geometria...

[Claudia88]

Visto che ci sono vi pongo un altro dubbio...

Allora, sto facendo il seguente esercizio:

Determina l'applicazione lineare $ f: R^3->R^4 $tale che $ Kerf= L((1, 0, 1)), f(2, -1, 3)=(-2, 0, -1, -3) $e $ f(1, 0, 0)=(2, -3, 1, 1)
Determinare se esistono una base $ B $di $R^4 $e una base $B' $di $R^3 $ tale che la matrice associata ad f rispetto alle basi sia

$ ((1, 3, -1), (-1, 0, -2), (0, 2, -2), (2, 1, 0))

Io ho determinato l'applicazione, che è $ f(x, y, z)=(2x -2z, -3x +3y -3z, x -z, x +2y -z)

Ma come si fa la seconda parte?
La risposta comunque è che non esistono...

Grazie!

[fu^2]

Visto che ci sono vi pongo un altro dubbio...

Allora, sto facendo il seguente esercizio:

Determina l'applicazione lineare $ f: R^3->R^4 $tale che $ Kerf= L((1, 0, 1)), f(2, -1, 3)=(-2, 0, -1, -3) $e $ f(1, 0, 0)=(2, -3, 1, 1)
Determinare se esistono una base $ B $di $R^4 $e una base $B' $di $R^3 $ tale che la matrice associata ad f rispetto alle basi sia

$ ((1, 3, -1), (-1, 0, -2), (0, 2, -2), (2, 1, 0))

Io ho determinato l'applicazione, che è $ f(x, y, z)=(2x -2z, -3x +3y -3z, x -z, x +2y -z)

Ma come si fa la seconda parte?
La risposta comunque è che non esistono...

Grazie!

te sai che $ f((1, 0, 1))=(0,0,0,0), f(2, -1, 3)=(-2, 0, -1, -3) $e $ f(1, 0, 0)=(2, -3, 1, 1)

troviamo l'applicazione rispetto alla base canonica:
$f(1,0,1)=f(1,0,0)+f(0,0,1)=(0,0,0,0)
$f(2, -1, 3)=2f(1,0,0)-f(0,1,0)+3f(0,0,1)=(-2, 0, -1, -3)
$ f(1, 0, 0)=(2, -3, 1, 1)

da cui ricavi che
$f(1, 0, 0)=(2, -3, 1, 1)
$f(0,1,0)=(0,3,0,2)
$f(0,0,1)=(-2, 3, -1, -1)
quindi l'applicazione associata alla base canonica è $f((x),(y),(z))=((2x-2z),(-3x+3y+3z),(x-z),(x+2y-z))

rispetto alla base canonica in partenza e arrivo è
$ ((2, 0, -2), (-3, 3, 3), (1, 0, -1), (1, 2, -1))=A

la domanda è se esiste una matrice C tc se $B=((1, 3, -1), (-1, 0, -2), (0, 2, -2), (2, 1, 0))$ allora $B=D^(-1)AC$
dove $D=M_(B_4)^(C_4)$ e $C=M_(C_3)^(B_3)

ma andiamo con calma:
passo primo assicuriamoci che il rango sia uguale (cioè tre), diagonalizziamola attraverso operazioni per righe:
$B=((1, 3, -1), (-1, 0, -2), (0, 2, -2), (2, 1, 0))->((1, 3, -1), (0, 1, -1), (0, 0, 7), (0, 0, 0))
(salvo errori di calcolo)
ovviamente il $KerB=((0),(0),(0))$ quindi B non può rappresentare la stessa applicazione in quanto almeno un vettore della nuova base deve finire nel KerB