Simbolo di ricci

[Didodock]

Ciao a tutti,
dovrei dimostrare che
e_(ilm)e_(epm)=2δ_(ip)
dove e rappresenta il simbolo di Ricci e δ il simbolo di Kronecker
un aiuto?

[Eredir]

Non mi torna l'identità che hai scritto, dovrebbe valere quando contrai su due indici, non su uno solo.
Infatti $\epsilon_{imn}\epsilon_{jmn}$ fa zero a meno che $i=j$. Quindi, fissati $m$ ed $n$, abbiamo $\epsilon_{imn}\epsilon_{imn}=(\epsilon_{imn})^2=1$. Poichè nella somma possiamo scegliere $m$ ed $n$ solo in due modi abbiamo $\epsilon_{imn}\epsilon_{jmn}=2\delta_{ij}$.

Nel caso di contrazione su un indice solo hai $\epsilon_{ijk}\epsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{km}-\delta_{jn}\delta_{kn}$. Anche in questo caso le possibilità sono due, o gli indici nella stessa posizione sono uguali e quindi $\epsilon_{123}\epsilon_{123}=\epsilon_{132}\epsilon_{132}=1$, oppure gli indici nella stessa posizione sono diversi e quindi $\epsilon_{123}\epsilon_{132}=\epsilon_{132}\epsilon_{123}=-1$. Ovviamente nella formula di sopra non accade mai che i due pezzi siano entrambi diversi da zero, quindi vale sempre più o meno uno.