dimostrazioni geometria

[Kobra]

come potrei fare a dimostrare che $span(v1,v2,v3)=span(v1,v2+kv3,v3)$
poi potreste consigliarmi per riuscire e ricordare meglio le dimostrazioni?(dopo averle studiate le scordo quasi subito)
è una cosa in cui sono proprio negata...sto preparando Geometria1 e per me questi sono gli esercizi più rognosi

sono quasi ai livelli della foto a lato

[miuemia]

supponi che $v_1, v_2, v_3$ siano linearmente indipendenti vero????

[franced]

come potrei fare a dimostrare che $span(v1,v2,v3)=span(v1,v2+kv3,v3)$

I vettori $v_1$ e $v_3$ li hai in comune a tutte e due le terne di vettori;
basta che tu dimostri che il vettore $v_2$ lo puoi ottenere dai tre vettori $v_1,v_2+kv_3,v_3$.
E' sufficiente prendere:

$0 \cdot v_1 + 1 \cdot (v_2 + k v_3) + (-k) \cdot v_3$

ed ottieni proprio $v_2$.

[Kobra]

ma i valori li devo prendere per farlo tornare $v2$ per forza?

[franced]

ma i valori li devo prendere per farlo tornare $v2$ per forza?

Allora, se vuoi ti faccio la dimostrazione formale:

poniamo $A = Span(v_1,v_2,v_3)$; $B = Span(v_1,v_2+kv_3,v_3)$.

Dimostriamo che $A subset B$:

$v_1 = 1 \cdot v_1 + 0 \cdot (v_2+kv_3) + 0 \cdot v_3$

$v_2 = 0 \cdot v_1 + 1 \cdot (v_2+kv_3) + (-k) \cdot v_3$

$v_3 = 0 \cdot v_1 + 0 \cdot (v_2+kv_3) + 1 \cdot v_3$


Dimostriamo che $B subset A$:

$v_1 = 1 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 + 0 \cdot v_3$

$v_2 + k v_3 = 0 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2 + k \cdot v_3$

$v_3 = 0 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 + 1 \cdot v_3$

[Kobra]

ah, ok hai usato la base canonica!
ma perchè in $v2$ della prima parte al posto di $0*v3$ ci metti -k?
e anche nella seconda parte?

[franced]

ah, ok hai usato la base canonica!
ma perchè in $v2$ della prima parte al posto di $0*v3$ ci metti -k?
e anche nella seconda parte?

Perché, essendo un'equazione vettoriale, ciò che sta a sinistra deve essere
uguale a ciò che sta a destra!