composizione di trasformazioni lineari e cambiamento di base

[desko]

In uno spazio vettoriale euclideo ho tre basi ortonormali: T, P1 e P2.
conosco le trasformazioni P1=R1(T) e P2=R2(T) che sono due rotazioni.
Voglio calcolare la trasformazione P2=R12(P1), che dovrebbe essere una matrice di cambiamento di base.
Io sono abbastanza convinto che R12=R2*trasposta(R1).
Una collega invece è convinta che sia R12=trasposta(R1)*R2.
Il (mio) problema è che i risultati sperimentali sembrano dare ragione a lei, ma non cpiasco perché ha ragione lei e non io.
Ho paura che ci stiamo perdendo in un bicchier d'acqua.
Scusate se la questione è banale, ma non ne stiamo venendo a capo.
Grazie mille a tutti.

[fu^2]

prima di tutto ortonormali per cosa?
poi R12 cos'è? la rotazione data cambiando base da T a P1?

[desko]

Sono stato un po' approsimativo. Sorry
ortonormali nel senso più comune del termine: vettori di norma 1 e ortogonali a due a due: un normalissimo sistema cartesiano.
R1 passa da T a P1;
R2 passa da T a P2;
R12 passa da P1 a P2 ed è quella che devo calcolare.

Grazie mille.

[fu^2]

faccio uno schema ridicolo, ma almeno vedo se ho capito

te hai un cambio di coordinate R1 che va da T->P1, poi R2 che va da T->P2
vuoi l'applicazione R12 che va da P1 a P2

quindi te hai questa situazione (schema brutto)

$P1<-R1<-T->I_d->T->R2->P2$

quindi $P1->R1^(-1)->T->I_d->T->R2->P2$

quindi $P1->R12->P2$ è data da $R12=R1^(-1)*R2$ nel caso sia una matrice ortogonale (e quindi rappresenti una isometria o una rotazione ad esempio) te hai che l'inversa è uguale alla trasposta quindi da $R12=R1^(t)*R2$

dove $<-$ indca la freccia verso sinistra e le R in mezzo alle freccie indicano "attraverso la matrice R passo da a ...." spero sia comprensibile,,...

spero di non aver scritto fesserie...

[G.D.]

@fu^2
La freccia verso sinistra la puoi fare così
\$\leftarrow\$ = $leftarrow$

[desko]

Quel che hai scritto è tutto chiaro, però...
Io la vedo così:
P2=R2(T),
T=R1'(P1),
da cui:
P2=R2(R1'(P1))
(con R1' indico il trasposto di R1, così come in MatLab)

Credo che i problemi sorgano perché le trasformazioni si scrivono da sinistra verso destra nell'ordine in cui vanno eseguite, mentre le matrici corrispondenti si scrivono nell'ordine inverso, poiché la prima che interviene deve moltiplicare il dato di ingresso che sta a destra (scusate se mi sono espresso da cani).
Ancora grazie.

[fu^2]

giusto mi son confuso, è giuto scriverle da destra a sinistra, per la fretta ho scritto sbagliato...

te hai che se f è la rotazione scritta nelle basi, quella scritta nelle basi P1 partenza e P2 arrivo è: $M_(P2)^(P1)(f)=M_(P2)^T(id)M_T^T(f)M_T^(P1)(id)$ nel caso $M_T^T(f)=I_d$ allora hai ragione te.

scusate la gaffe

[desko]

Nooooooooo
mi stai dando ragione?
Ormai mi stavo quasi convincendo di avere torto, anche senza vedere bene il perché.
Se dici così rimetti tutto in ballo.

Aiutoooooooooo