Circonferenza nel piano euclideo

[*missdreamer*]

Sia $C$ una circonferenza nel piano Euclideo, di centro $O$ e raggio $r$. Considerato un generico del piano $P$ definiamo $p_C(P)=d^2-r^2$, dove $d$ indica la distanza dal centro $O$ al punto $P$. Dimostrare che una retta passante per $P$ interseca in due punti $A$ e $B$ la circonferenza, alloa $p_C(P)$ risulta uguale al prodotto delle distanze $PA$ e $PB$. , considerate negative se $P$ si trova tra $A$ e $B$. Qualcuno saprebbe darmi una mano? Grazie

[5InGold]

Osserviamo che gli angoli $PMA$ e $PBN$ sono uguali e i triangoli $PMA$ e $PBN$ sono simili, perciò
$\frac{PB}{PM} = \frac{PN}{PA}$
e
$PA*PB=PN*PM=(d-r)(d+r)=d^2-r^2$
Nel caso in cui il punto P sia interno, si ha ancora la similitudine tra i due triangoli. In questo caso l'angolo in $P$ non è più in comune ma l'uguaglianza deriva dall'essere opposti al vertice


Ho ritrovato questa dimostrazione, scritta a matita, sul libro "Trasformazioni Geometriche" di Maria Dedo' utilizzato tempo fa per la preparazione del concorso ordinario per la scuola superiore. Guardando il problema da te proposto mi è venuto in mente l'inversione e sono andato a colpo sicuro alla ricerca di quel libro. Vedo che la quantità $p_c(P)$ è definita come potenza di $P$ rispetto a $C$. Qual è il suo significato (quante cose si dimenticano!)? In che contesto ti è stato assegnato questo problema?

[*missdreamer*]

Grazie mille per la dimostrazione! Sono esercizi in preparazione di un esame di geometria (analitica/proiettiva).

[*missdreamer*]

Scusa, mi potresti dire come mai gli angoli PMA e PBN sono uguali?