Algebra Lineare

[circu87]

(spero di scrivere nella sezione giusta)

Il 25 devo dare un'esame di algebra lineare... Diciamo che nel complesso sono ben messo... però ci terrei tanto a prendere un buon voto e a fare bella figura... So già cosa potrebbe mettere nel compito (che è scritto) il mio docente... Il problema è però che potrebbe chiedere di scrivere delle formule con relative spiegazioni... qll formule alla fine non sono tante... Per alcune non ho avuto difficoltà a comprendere il significato, mentre per altre si...
Ebbene le formule a cui non riesco proprio a dare una giustificazione, nonostante riesca a scriverle e ad applicarle ad eventuali problemi, sono due:

-la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz
-la formula per trovare l'angolo tra due vettori non nulli di R^n

Un grazie in anticipo a chiunque risponderà al mio appello...

Un saluto, Circu...

[pat87]

Cioè vorresti sapere come si ricavano quelle due cose (e quindi la loro dimostrazione)?

[circu87]

Cioè vorresti sapere come si ricavano quelle due cose (e quindi la loro dimostrazione)?

Allora ti spiego una tipologia di domanda in cui potrebbe capitare una delle due cose...

-DOMANDA: enunciare la formula per il calcolo tra due vettori non nulli in R^n
-RISPOSTA(esempio): (scrivo la formula); questa formula serve per... bla bla bla...

ecco... una cosa del genere... in poche parole vuole risposta alla domanda e giustificazione qnd si enuncia un teorema o qlcs del genere... spero di essermi spiegato bene.... altrimenti potrei fare un esempio pratico con una o due domande che so fare...

[alberto86]

la formula di C.S. è semplicemente la risoluzione di un problema di minimo..infatti indico con v,w vettori di $R^n$ e t nei reali e il prodotto scalare con (v,w)..fisso v,w e allora come ben sai per ogni v vale (v,v)>=0 quindi sarà anche vero che (v+tw,v+tw)>=0 per ogni t nei reali..tale espressione diventa t^2(v,v)+2t(v,w)+(w,w)>=0 per ogni t in R a questa è una parabola in t a v e w fissato e la disuguaglianza è vera per ogni t e quindi deve valere anche nel minimo di tale parabola..derivando ottengo che il minimo si trova per t= -(v,w)/(v,v) e quindi sostituendo ottengo
(v,w)^2/(v,v)-2(v,w)^2/(v,v) +(w,w) >=0 da cui -(v,w)^2+(v,v)(w,w)>=0 e quindi portando dall'altra parte e prendendo la radice di entrambi i membri ottieni la disuguaglianza

[circu87]

la formula di C.S. è semplicemente la risoluzione di un problema di minimo..infatti indico con v,w vettori di $R^n$ e t nei reali e il prodotto scalare con (v,w)..fisso v,w e allora come ben sai per ogni v vale (v,v)>=0 quindi sarà anche vero che (v+tw,v+tw)>=0 per ogni t nei reali..tale espressione diventa t^2(v,v)+2t(v,w)+(w,w)>=0 per ogni t in R a questa è una parabola in t a v e w fissato e la disuguaglianza è vera per ogni t e quindi deve valere anche nel minimo di tale parabola..derivando ottengo che il minimo si trova per t= -(v,w)/(v,v) e quindi sostituendo ottengo
(v,w)^2/(v,v)-2(v,w)^2/(v,v) +(w,w) >=0 da cui -(v,w)^2+(v,v)(w,w)>=0 e quindi portando dall'altra parte e prendendo la radice di entrambi i membri ottieni la disuguaglianza

ok... nn ci ho capito un'accidenti...

[Camillo]

Quel che ha scritto alberto86 non è altro che la dimostrazione di come si arriva alla disuguaglianza di C.S.
Ma forse non è quello che vuole sapere il tuo prof.
La disuguaglianza di C.S. ha un significato molto semplice da visualizzare, specialmente se la consideri in $RR^2 $.
Dice che il modulo del prodotto scalare tra 2 vettori è $<= $ al prodotto del modulo dei due vettori stessi.

$| (u,v)| <=||u|| ||v|| $ essendo $ (u,v)$ il prodotto scalare dei due vettori.
Come sai il prodotto scalare ( che è appunto uno scalare, cioè un numero) tra 2 vettori può essere positivo o negativo a seconda dell'angolo che essi formano : ha appunto il segno del coseno dell'angolo formato, quindi positivo se :
$-pi/2<alpha <pi/2 $ , negativo se $ pi/2<alpha< 3pi/2$ , essendo $alpha $ l'angolo formato dai due vettori.
Del prodotto scalare ne consideri il modulo, cioè il valore assoluto e quindi lo rendi positivo" per forza " ; adesso lo confronti col prodotto dei moduli dei due vettori , cioè col prodotto delle loro lunghezze.
Troverai che la prima quantità è sempre minore o al massimo uguale alla seconda.
Geometricamente, così facendo, confronti :
il prodotto della lunghezza di un vettore per la lunghezza della proiezione dell'altro sul primo
con
il prodotto delle due lunghezze.
Chiaramente il primo è sempre minore del secondo tranne che i due vettori siano uno multiplo dell'altro, a dire cioè formino un angolo pari a $0$ oppure pari a $pi $ radianti : in tal caso i due numeri sono uguali, il che è ovvio.
Vale quindi il segno di $ = $ se e solo se i due vettori sono linearmente dipendenti.

Esempio , sempre in $RR^2 $ per semplicità :
* $u=(1,2) ; v=(3,-4)$ da cui : $(u,v) =3-8=-5 $ ; $ |(u,v) |=5 $ ;$||u||=sqrt(5) ;||v||=sqrt(25)=5 $ ; $||u|| ||v||= 5*sqrt(5)$ che giustamente risulta $ > $ di $5 $.
Per curiosità si può calcolare che angolo $alpha $ formano i due vettori ; sarà tale che $cos alpha = (u,v)/(||u|| ||v|| )= -sqrt(5)/5$ che corrisponde a un angolo di circa $116°$, poco più di $ 2 $ radianti.

*adesso i due vettori sono allineati , diciamo meglio linearmente dipendenti ad es . $u=(1,2) ; v=(-2,-4)$
si ha : $|(u,v)| = |-10| = 10 $ ; $||u||= sqrt(5) ; ||v ||=2*sqrt(5) $ ed è infatti $ sqrt(5)*2*sqrt(5) = 10 $

L'angolo che formano è ( ovviamnete $pi$ ) come risulta anche da : $cos alpha = -10/10=-1 $ e dunque $alpha = pi $.

La disuguaglianza di C.S. vale in $RR^n $ e non solo ,anche in spazi vettoriali assai più generali .