Da coordinate polari a cartesiane

[Luca D.]

Salve a tutti!
Sto simulando un corpo che ruota attorno al centro di un sistema di riferimento fisso. La posizione di questo corpo la indico con la distanza $r$ dal centro del sistema, e con l'angolo $theta$ che il corpo forma con l'ascissa del sistema di riferimento. Il testo mi fornisce solo le accelerazioni di $r$ e di $theta$.
Ora, man mano che il copro ruota, i valori dell'angolo aumentano; finita una rotazione completa $theta$ risulta uguale a 360° e continuerà ad aumentare. Finiti due giri avremo $theta = 720$ ecc.. Io vorrei che il valore dell'angolo rimanesse tra 0° e 360°. Ho pensato a due soluzioni: invece di utilizzare $theta$ potrei utilizzare $theta mod 360$. In questo modo appena l'angolo arriva a 360 ritorna da solo a 0. La cosa direi che vada bene.. ma non mi piace che l'andamento della curva che descrive l'angolo non sia continua..
Ho pensato allora ad un'altra soluzione: passare alle coordinate cartesiane. Come si fa?
Direi che:
$x = r*cos(theta)$
$y = r*sin(theta)$
Ma io conosco solo le accelerazioni $ddot r$ e $ddot theta$.
Dovrei ricavare $r$ e $theta$ in funzione di $x$ e $y$ e sostituirle nelle accelerazioni?
Grazie per qualsiasi delucidazione!

[Megan00b]

Innanzitutto questo è il principale "CONTRO" delle coordinate polari. Secondo il mod è un'operazione tra interi e il tuo angolo è una quantità reale quindi ciò che hai scritto è un po' "esotico".

Se vuoi passare alle CC partendo dalle espressioni che hai scritto di x e y puoi ricavare le loro derivate seconde sapendo quelle di r e theta derivando 2 volte e sostituendo il dato che conosci. Spero sia sufficientemente chiaro.

[gugo82]

il $mod$ è un'operazione tra interi e il tuo angolo è una quantità reale quindi ciò che hai scritto è un po' "esotico".

Questa frase è oscura, anche perchè la notazione $theta=tau " (mod. 2"pi")"$ ad esempio è d'uso corrente in molti testi (specie delle superiori).

La relazione d'equivalenza modulo $2pi$ in $RR$ si può definire in maniera semplice:

$theta=tau " (mod. 2"pi")" quad "se e solo se" quad exists k in ZZ: quad theta=tau +k*2pi$

quindi non vedo dove trovi strana la cosa Megan00b; al massimo puoi essere abituato ad usare la notazione $mod. m$ in $ZZ$, ma ciò non vuol dire che la si possa utilizzare solo in quel contesto.


Per rispondere a Luca D., non c'è niente di male a far variare la coordinata angolare in $RR$ anzichè in $[0,2pi]$; ad ogni modo le formule per ilpassaggio da coordinate polari a cartesiane ti permettono di scrivere la legge oraria del tuo moto come:

$\{(x(t)=r(t)*cos theta(t)),(y(t)=r(t)*sin theta(t)):}$

onde, derivando due volte rispetto a $t$, trovi (la dipendenza da $t$ è omessa):

$\{(ddotx =ddotr *cos theta-2dotr*dottheta*sin theta-r*[ddottheta*sin theta+dottheta^2 (t)*cos theta]),(ddoty=ddotr*sintheta+2dotr*dottheta*costheta+r*[ddottheta*costheta-dottheta^2*sintheta]):} quad$...

Fossi in te, data la poca maneggevolezza delle formule precedenti, preferirei adattarmi a pensare la coordinata angolare variabile in $RR$ anziché imbastire tutto 'sto casotto di conti... però dipende da quello che devi fare con i risultati della simulazione e dalla tua dimestichezza coi calcoli.

[Luca D.]

Grazie ad entrambi per le risposte.
Effettivamente anche io sono abituato ad utilizzare il modulo in aritmetica modulare, ma non mi ero neanche posto il problema sulla fattibilità in $R$. Comunque sto facendo delle simulazioni in simulink e vedo che c'è un bel blocchettino che mi fa il modulo in $R$
Per Gugo: ho provato ad imbattermi in quei calcoli ma effettivamente non ha senso.. quasi quasi resto con la soluzione del modulo!

[Megan00b]

La modulazione in R è un estensione di significato ma non di definizione rispetto a quella in Z che a sua volta è un caso particolare della congruenza modulare in generale che una particolare forma delle relazioni di equivalenza su insiemi strutturati da operazioni primarie con proprietà sufficientemente utili (principalmente gli anelli, ma non solo):
a è congruo b (mod n) sse a-b sta nella minima sottostruttura (ideale se parliamo di anelli) contenente n.
Nel caso reale quindi è perfettamente lecito usare questa notazione per indicare ciò di cui sopra e infatti non ho mai detto che sia sbagliato ma solo che sia esotico. Questo perchè IO non ricordo di aver mai trovato in un testo (e ciò non implica che non sia usato in testi che non conosco) questa notazione e l'uso ad esempio "informatico" dell'operatore mod si riferisce in generale strettamente agli interi.
Perpiacere non mettetemi in bocca cosa che non ho detto (anzi scritto)!
In ogni caso mi associo alla scelta di lasciare la definizione "modulare" dell'angolo a meno che non ti sia necessario fare operazioni (integrazioni...?) che su variabili fortemente discontinue sono possibili ma più ostiche da un punto di vista computazionale. Come sempre scegliamo il modello più COMODO, non il più carino.


Ps. Fissare una congruenza ossia una relazione di equivalenza sottende l'utilità di fissare un insieme di rappresentanti. Se nell'aritmetica modulare in Z quasi sempre la scelta migliore cade sui numeri 0,1,...,n-1 oppure su -n+1,...,-1,0 nel caso in questione non è per niente scontato fare una scelta del genere (dal punto di vista della comodità del modello) cui potrebbe essere preferibile usare gli angoli tra -180 e +180. Altro motivo che mi ha spinto a definire "esotica" la notazione mod.

[gugo82]

La modulazione in R è un estensione di significato ma non di definizione rispetto a quella in Z che a sua volta è un caso particolare della congruenza modulare in generale che una particolare forma delle relazioni di equivalenza su insiemi strutturati da operazioni primarie con proprietà sufficientemente utili (principalmente gli anelli, ma non solo):
a è congruo b (mod n) sse a-b sta nella minima sottostruttura (ideale se parliamo di anelli) contenente n.
Nel caso reale quindi è perfettamente lecito usare questa notazione per indicare ciò di cui sopra e infatti non ho mai detto che sia sbagliato ma solo che sia esotico. Questo perchè IO non ricordo di aver mai trovato in un testo (e ciò non implica che non sia usato in testi che non conosco) questa notazione e l'uso ad esempio "informatico" dell'operatore mod si riferisce in generale strettamente agli interi.
Perpiacere non mettetemi in bocca cosa che non ho detto (anzi scritto)!

Come siamo suscettibili... non ho minimamente detto che tu considerassi sbagliata la cosa.

A dire il vero l'esoticità della notazione non la vedo, ma può essere che l'abbia talmente familiare (anche se non la uso più dal liceo a dire il vero) che non ci faccio più caso.

Ps. Fissare una congruenza ossia una relazione di equivalenza sottende l'utilità di fissare un insieme di rappresentanti. Se nell'aritmetica modulare in Z quasi sempre la scelta migliore cade sui numeri 0,1,...,n-1 oppure su -n+1,...,-1,0 nel caso in questione non è per niente scontato fare una scelta del genere (dal punto di vista della comodità del modello) cui potrebbe essere preferibile usare gli angoli tra -180 e +180. Altro motivo che mi ha spinto a definire "esotica" la notazione mod.

La scelta dei rappresentanti non è scontato nel caso in questione così come non è scontato in $ZZ$.

Molto (o tutto che dir si voglia) dipende da quello che s'ha da fare con la variabile angolare: di solito si sceglie $[0,2pi[$ oppure, se si ha a che fare con i numeri complessi, $]-pi,pi]$, ma nulla vieta di prendere altri intervalli.

Non capisco l'incipit del P.S. (la frase in grassetto): vuol dire che una relazione d'equivalenza viene scelta a seconda di come si intende usare i rappresentanti delle classi?
Questo potrebbe essere vero in campo algebrico, ma nel campo dell'Analisi non mi risulta si proceda proprio così: le relazioni d'equivalenza si adoperano di solito per far diventare metriche delle pseudometriche o per formare delle norme partendo da seminorme (ad esempio la norma $L^p$) ed il problema di base non è avere dei "buoni" rappresentanti delle classi d'equivalenza (che questo poi succeda in alcuni casi è del tutto incidentale, secondo me); altro esempio: nella costruzione del completamento di uno spazio metrico le classi d'equivalenza che si presentano naturalmente sono costituite da successioni di Cauchy, il che non mi pare il massimo della maneggevolezza.
Potresti spiegare meglio il tuo pensiero? Grazie Megan00b.

[Megan00b]

Non è suscettibilità, è solo che temo come la peste la possibilità di ricadere nella situazione spiacevole subita in un'altra sezione del sito 2 giorni fa e che mi ha parecchio dispiaciuto, quindi come si suol dire mettevo le mani avanti...e il wink in parte l'ho messo proprio per non sembrare gratutitamente incazzoso ... ma dato che qui siamo tutti sufficientemente intelligenti non credo sia necessario continuare a cincischiare e a porgerci il cappello.
Venendo alle questioni serie:
Sono d'accordissimo con te su quasi tutto quello che hai detto:
infatti la congruenza è UNA forma di equivalenza. Se prendiamo la congruenza modulare in Z. bè, lì la scelta dei rappresentanti è così ovvia che non ce ne accorgiamo nemmeno di averli scelti. Nessuno parlerebbe della classe di 8640 modulo 7 ma la chiamerebbe classe 2 o al più -6. Perchè con le classi di resto ci facciamo le somme, i prodotti o gli elevamenti a potenza e quindi ci torna comodo usare classi-numeri "piccoli". (...ci siamo capiti...)
Nel caso in questione non è affatto chiaro cosa ci dovremo fare con questi angoli di cui prendiamo un quoziente (Luca non lo ha detto). Se dovremo fare degli integrali - ad esempio- sarà forse più utile fissare come rappresentanti $[-pi/2,pi/2]$ piuttosto che $[0,pi]$ (ad esempio) o il contrario a seconda di cosa e dove stiamo integrando per evitare la discontinuità che ci costringerebbe a spezzare ogni volta l'integrale (a livello di calcoli si intende!!!), ma è solo un esempio.
Quindi possiamo fare quello che vogliamo. Non so se forse è il significato del termine "esotico" su cui non ci troviamo. Io lo intendevo nel senso di non naturale, non ovvio, da precisare. Quindi non sbagliato. Alla fine io stesso non avrei usato la notazione mod ma probabilmente avrei pensato la stessa cosa. D'altronde uso spesso nel linguaggio parlato la parola "modulo" intendendo "a meno di". Forse anche per me è una questione di abito mentale perchè ho la vaga impressione che abbiamo sollevato un problema che non sussiste...che dici?

Ps. Apprezzo molto la tua gentilezza. E' bello interloquire in questo modo.