Spazi vettoriali

[Bob_inch]

Siano $S={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0}$ e $T={(x,y,z) in RR^3: -2x+y+2z=0}$ sottospazi di $RR^3$. Determinare $S nn T$.

Un vettore (x,y.z) di $RR^3$ appartiene ad $S nn T$ se, e solo se:

$(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$
Sostituendo alle ultime terne due vettori qualunque rispettivamente di S e di T si ottiene:
$(x,y,z)=a(1,0,-1/2) + b(0,1,-1/2)$
Quindi si ha, infine: $(x,y,z)=(a,b,-1/2a-1/2b)$

A questo punto come continuo? L'insieme intersezione volendo me lo potrei ricavare con la relazione di Grassmann, oppure?


Grazie

[Bob_inch]

In addition, avrei bisogno di un altro chiarimento:
S e T sono due sottospazi di $RR^3$ tali che
$S=<{(1,1,0), (2,1,3)}>$ e $T=<{(2,1,0), (-4,2,0)}>$. (Col simbolo <> indica i generatori, anche se non ne sono sicurissimo poiché l'eserciziario che utilizzo non chiarisce cosa intenda con quel simbolo)

Risulta evidente che il secondo generatore di T risulta essere combinazione lineare del primo. Quando mi vado a trovare un vettore qualunque del tipo (x, y, z) che appartenga a T devo agire così:

$(x,y,z)=a(2,1,0)$ escludendo il secondo vettore di T perché multiplo dell'altro. Giusto? Come si spiega cio' in maniera meno pratica e più teorica?

[Martino]

Attento, stai facendo un po' di confusione

Siano $S={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0}$ e $T={(x,y,z) in RR^3: -2x+y+2z=0}$ sottospazi di $RR^3$. Determinare $S nn T$.

Un vettore (x,y.z) di $RR^3$ appartiene ad $S nn T$ se, e solo se:

$(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$
Sostituendo alle ultime terne due vettori qualunque rispettivamente di S e di T si ottiene:
$(x,y,z)=a(1,0,-1/2) + b(0,1,-1/2)$
Quindi si ha, infine: $(x,y,z)=(a,b,-1/2a-1/2b)$

Alt: questo che dici non va bene. Quello che hai trovato tu non è niente in particolare. Non puoi sostituire arbitrariamente dei valori di x e y. E la scrittura $(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$ non c'entra molto con quello che stai facendo (dovresti distinguere le x,y del membro di sinistra con le x,y di quello di destra: non sono supposte essere le stesse!). Inoltre una combinazione lineare di un elemento di T e uno di S non produce un elemento qualunque dell'intersezione, ma un elemento qualunque del sottospazio generato da T e S.

Invece fai così: un vettore (x,y,z) sta in $S nn T$ se e solo se verifica l'equazione di S e l'equazione di T, ovvero verifica il sistema:

${(x-2y+2z=0),(-2x+y+2z=0):}$

E da qui prosegui.

Risulta evidente che il secondo generatore di T risulta essere combinazione lineare del primo.

Non così evidente
Controlla meglio.

[Bob_inch]

Alt: questo che dici non va bene. Quello che hai trovato tu non è niente in particolare. Non puoi sostituire arbitrariamente dei valori di x e y. E la scrittura $(x,y,z)=a(x,y,y-x/2) + b(x,y,x-y/2)$ non c'entra molto con quello che stai facendo (dovresti distinguere le x,y del membro di sinistra con le x,y di quello di destra: non sono supposte essere le stesse!). Inoltre una combinazione lineare di un elemento di T e uno di S non produce un elemento qualunque dell'intersezione, ma un elemento qualunque del sottospazio generato da T e S.

Risolvendo il sistema mi viene un vettore del tipo $(-7/3t, -2/3t, t), t in RR$. Questo sarebbe il generico elemento appartenente a $S nn T$. No? L'esercizio è finito?
Dipendendo da un solo parametro $dim (S nn T)=1$.

Non così evidente
Controlla meglio.

Ho sbagliato a scrivere il secondo vettore. Era: $(-4,-2,0)$. Ti rilancio, Martino, la domanda fatta nel post precendente...

Il mio libro, Procesi Ciampi - Rota, fa le intersezioni con la seguente tecnica:
-si trova il generico vettore del primo sottospazio (in dipendenza dei parametri)
-si trova il generico vettore del secondo sottospazio (in dipendenza dei parametri)
-mette a sistema i parametri e li calcola
-così infine puo' scrivere il vettore dell'intersezione

[Martino]

Perfetto, tranne l'ultimissimo passaggio:

$2((0),(1),(1))-((-2),(0),(1))=2((1),(0),(1))-((0),(-2),(1))=((2),(2),(0))$

Direi piuttosto che il risultato è $((2),(2),(1))$.

In definitiva $S nn T = <((2),(2),(1))>$.

[Bob_inch]

Grazie Sergio e Martino! Bene, adesso ho capito

[Bob_inch]

Siano $S={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0}$ e $T={(x,y,z) in RR^3: -2x+y+2z=0}$ sottospazi di $RR^3$. Determinare $S nn T$.

E se invece in T comparisse una seconda equazione, ad es. $T={(x,y,z) in RR^3: x-y+z=0, 3x+3y-z=0}$;
Si ricavano i vettori di $RR^3$ soluzione delle due equazioni. E poi? Si trovano due basi, una per ogni equazione.. ??

[Martino]

Siano $S={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0}$ e $T={(x,y,z) in RR^3: -2x+y+2z=0}$ sottospazi di $RR^3$. Determinare $S nn T$.

E se invece in T comparisse una seconda equazione, ad es. $T={(x,y,z) in RR^3: x-y+z=0, 3x+3y-z=0}$;
Si ricavano i vettori di $RR^4$ soluzione delle due equazioni. E poi? Si trovano due basi, una per ogni equazione.. ??

Guarda, il metodo piu indolore a mio avviso è appunto quello di mettere le equazioni a sistema. Se hai quindi

$S={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0}$
$T={(x,y,z) in RR^3: x-y+z=0, 3x+3y-z=0}$

allora semplicemente

$S nn T ={(x,y,z) in RR^3: x-2y+2z=0,\ x-y+z=0,\ 3x+3y-z=0}$

Per trovare dei generatori basta quindi che risolvi il sistema

${(x-2y+2z=0),(x-y+z=0),(3x+3y-z=0):}$

Dalla seconda $x=y-z$ e quindi dalla prima $z=y$ e allora $x=0$. Da $z=3y$ segue allora $y=z=0$, quindi in questo caso

$S nn T = {((0),(0),(0))} = <((0),(0),(0))>$

Cio' capita perché le tre equazioni sono tra loro indipendenti, ovvero la matrice dei coefficienti è invertibile.

[Bob_inch]

Altrimenti, lavorando diversamente non se ne usciva più.
Ora voglio calcolarmi $S+T$. So che $S+T={s+t: s in S e t in T}$. I vettori di $S+T$ devono essere del tipo:

$(2y-2z, y, z)+(-1/3 z, 2/3 z, z)$.

Sbaglio?

La cosa che mi infastidisce dell'algebra è che non sono mai pienamente sicuro di quello che faccio. :S

[Martino]

Altrimenti, lavorando diversamente non se ne usciva più.
Ora voglio calcolarmi $S+T$. So che $S+T={s+t: s in S e t in T}$. I vettori di $S+T$ devono essere del tipo:

$(2y-2z, y, z)+(-1/3 z, 2/3 z, z)$.

Sbaglio?

Purtroppo si', sbagli.

Non puoi usare la stessa $z$ per il primo vettore e per il secondo. Devi usarne un'altra per il secondo (per esempio $w$). In base a cosa usi la stessa $z$?

In altre parole, siccome puoi scrivere ogni vettore di $S$ nella forma

$a((2),(1),(0))+b((-2),(0),(1))$

e ogni vettore di $T$ nella forma

$a((-1),(2),(3))$

allora evidentemente un vettore generico di $S+T$ sarà della forma

$a((2),(1),(0))+b((-2),(0),(1))+c((-1),(2),(3))$

(non posso usare $a$ per il terzo vettore solo perché l'ho usato sopra, perché se facessi cosi' creerei una dipendenza lineare!)
Ci sei?