La nozione di supplementare

[Gabriel]

Immaginate che $Y$ sia un sottospazio di un qualche spazio lineare $X$ su un campo $K$. Che debbo, allora, intendere per un supplementare di $Y$? Ho provato a cercare in rete, senza trovare nessuna definizione soddisfacente. Per caso è necessario ammettere che $X$ abbia una struttura topologica soggiacente (dunque sia, ad es., uno spazio vettoriale topologico su $K$, anziché semplicemente uno $K$-spazio lineare)? Naturalmente, grazie per ogni contributo.

[Gabriel]

$Y$ e $Y'$ sono supplementari se $Y oplus Y'=X$, cioè se $Y+Y'=X$ e $Y nn Y'=emptyset.

Bene. Immagino intendessi $Y nn Y' = \{0\}$. Ecco, allora, la domanda successiva: se $Y$ è un sottospazio finito-dimensionale di uno spazio di Banach $(X,||\cdot||)$ sul campo $K$ (reale o complesso), il supplementare di $Y$, se esiste, non è forse univocamente determinato?

[Martino]

$Y$ e $Y'$ sono supplementari se $Y oplus Y'=X$, cioè se $Y+Y'=X$ e $Y nn Y'=emptyset.

Bene. Immagino intendessi $Y nn Y' = \{0\}$. Ecco, allora, la domanda successiva: se $Y$ è un sottospazio finito-dimensionale di uno spazio di Banach $(X,||\cdot||)$ sul campo $K$ (reale o complesso), il supplementare di $Y$, se esiste, non è forse univocamente determinato?

No. Prendi $RR^2$. Allora ogni retta passante per l'origine diversa dall'asse x è un supplementare dell'asse x.

A meno che non sia io ad aver capito male

[gugo82]

La nozione di supplementare ha due facce: quella puramente algebrica e quella algebrico-topologica.

Siano $X$ un $K$-s.v. ed $Msubseteq X$ un sottospazio di $X$. Ogni sottospazio $N subseteq X$ tale che 1) $M+N=X$ e 2) $Mcap N={0_X}$ (si suole esprimere la congiunzione delle proprietà 1) e 2) scrivendo semplicemente $X=M\oplus N$)si chiama supplementare (algebrico) di $M$ in $X$. Si dimostra coll'aiuto del lemma di Zorn che ogni sottospazio di $X$ ha un supplementare algebrico.

Se $X$ è un $K$-s.v.t. (in particolare normato) viene introdotta la nozione di supplementare topologico per i sottospazi chiusi. Si dice che un sottospazio chiuso $M subseteq X$ ha supplementare topologico in $X$ se e solo se esiste un supplementare algebrico $N$ di $M$ che sia anche chiuso in $X$ (quindi $N$ è un sottospazio verificante le condizioni I) $X=M\oplus N$ e II) $N=barN$); ogni sottospazio $N$ verificante le I-II) viene detto supplementare topologico di $M$.

La distinzione tra le due nozioni è evidente.

Alcune classi di sottospazi chiusi hanno certamente un supplementare topologico: ad esempio i sottospazi di uno spazio di Banach aventi dimensione o codimensione finita. Negli spazi di Hilbert invece tutti i sottospazi chiusi hanno un supplementare topologico.

Però non tutti i sottospazi chiusi di uno spazio normato hanno un supplementare topologico: ad esempio si dimostra che ogni spazio di Banach che non sia isomorfo ad uno spazio di Hilbert ha almeno un sottospazio chiuso privo di supplementare topologico.
Un esempio di sottospazio chiuso di uno spazio di Banach non dotato di supplementare topologico è $c_0$ riguardato come sottospazio di $l^oo$ con la sua norma usuale. Si possono comunque descrivere esplicitamenti altri sottospazi privi di supplementare, come un sottospazio di $L^1$ o un sottospazio di $l^p$ (con $p!=2$ ovviamente).
(Di questi esempi non ho sotto mano le dimostrazioni, però se vuoi posso darti qualche riferimento bibliografico.)

[Gabriel]

Ok, molte grazie a tutti. Adesso è finalmente chiaro.