dubbio topologico

[fu^2]

chiedo consiglio su un esercizio interessante di topologia:

Sia X lo spazio delle successioni in $bb{F}_2={0,1}$. sia $x={x_i}_(i\in\NN)$ (o abbreviato ${x_i}$) una generica successione. Sia $U_x:={y\in\X:y_i=x_i" eccetto al più un numero finito di indici i"}$

1. Mostrare che $U_x$ costituisce una base per X
2. Con questa base X è connesso? è compatto?

soluzione
1. $X=uux:x={x_i}$ quindi associando al più un intorno definito come $U_x$ per ogni successione x, otteniamo $X=uu\U_x$. ovviamente $O/\in\uuU_x$.
inoltre se $U_x$ e $U_z$ son due intorni, allora $U_xnnU_z=yinX:y_i=x_i ^^^y_i=z_i" eccetto un numero finito di indici"}$ quindi possiamo concludere che $U_xnnU_z=U_({x_i}nn{z_i})=U_(bary)$. Quindi $U_x$ genera una base per lo spazio X.
Definiamo quindi gli aperti di X gli elementi di questa base.

2. Lo spazio è sconnesso
Mostriamo che ogni intorno è sia aperto che chiuso:
Per mostrare che è aperto, mostriamo che possiamo ricavare un aperto da ogni intorno.
sia $U_x$ un intorno generico, sia y una successione in $U_x$ diversa da x. definiamo $U_(bary)$ l'intorno formato dalla successione ${bary_i}$ come segue: ${bary_i}:=y_i" tc "y_i=x_i$. Ovviamente $U_(bary)\sub\U_x$.
inoltre ogni $U_x$ è un chiuso, infatti $U_x=X-uuU_(x_k)$ (con $x_k$ son indicate le successioni che non appartengono a $U_x$ e con il segno - intendo la sottrazione di insiemi in quanto tra dollari la simbologia corretta X\A non è letta) $=>U_x=nnX-U_(x_k)$ ma $X-U_(x_k)$ è un chiusoi in quanto $U_(x_k)$ è aperto per quanto mostrato prima, inoltre l'intersezione ualunque di chiusi è chiusa, quindi $U_x=nnX-U_(x_k)$ è chiuso.

Quindi X è sconnesso in quanto tutti gli $U_x$ sono sia aperti che chiusi.

(nota: se qualcuno riesce a trovare due insiemi disgiunti che partizionano X per far vedere che è sconnesso, me lo potrebbe dire che a me non vengono in mente )


Lo spazio X è compatto, infatti per assurdo X è compatto, allora $EEx_1,...,x_k:XsubU_(x_1)uu...uuU_(x_k)$.
Quindi $x_1,...,x_k$ sono successioni che differiscono tra loro per un numero infinito di indici, allora con questi indici è poissibile costruire una successione ${n_(k_i)}$.
Questa successione per costruzione non appartiene a nessuno degli intorni. X non è compatto.



Vi convince la soluzione? grazie a tutti per qualsiasi suggerimento se avete soluzioni diverse ditemelo !

[Martino]

In realtà a mio avviso ci sono un po' di cose poco chiare

chiedo consiglio su un esercizio interessante di topologia:

Sia X lo spazio delle successioni in $bb{F}_2={0,1}$. sia $x={x_i}_(i\in\NN)$ (o abbreviato ${x_i}$) una generica successione. Sia $U_x:={y\in\X:y_i=x_i" eccetto al più un numero finito di indici i"}$

1. Mostrare che $U_x$ costituisce una base per X
2. Con questa base X è connesso? è compatto?

soluzione
1. $X=uux:x={x_i}$ quindi associando al più un intorno definito come $U_x$ per ogni successione x, otteniamo $X=uu\U_x$. ovviamente $O/\in\uuU_x$.

Cosa intendi con $\uuU_x$?

inoltre se $U_x$ e $U_z$ son due intorni, allora $U_xnnU_z=yinX:y_i=x_i ^^^y_i=z_i" eccetto un numero finito di indici"}$ quindi possiamo concludere che $U_xnnU_z=U_({x_i}nn{z_i})=U_(bary)$.

Cos'è ${x_i}nn{z_i}$ ?

Quindi $U_x$ genera una base per lo spazio X.
Definiamo quindi gli aperti di X gli elementi di questa base.

Forse intendi dire i sottoinsiemi di X che sono unione di alcuni $U_x$.

2. Lo spazio è sconnesso
Mostriamo che ogni intorno è sia aperto che chiuso:
Per mostrare che è aperto, mostriamo che possiamo ricavare un aperto da ogni intorno.

Ma scusa non sono aperti per definizione?

ogni $U_x$ è un chiuso, infatti $U_x=X-uuU_(x_k)$ (con $x_k$ son indicate le successioni che non appartengono a $U_x$

In base a cosa dici questo?

e con il segno - intendo la sottrazione di insiemi in quanto tra dollari la simbologia corretta X\A non è letta) $=>U_x=nnX-U_(x_k)$ ma $X-U_(x_k)$ è un chiusoi in quanto $U_(x_k)$ è aperto per quanto mostrato prima, inoltre l'intersezione ualunque di chiusi è chiusa, quindi $U_x=nnX-U_(x_k)$ è chiuso.

Quindi X è sconnesso in quanto tutti gli $U_x$ sono sia aperti che chiusi.

(nota: se qualcuno riesce a trovare due insiemi disgiunti che partizionano X per far vedere che è sconnesso, me lo potrebbe dire che a me non vengono in mente )

Beh dato $x in X$ hai $X=U_x cup (X-U_x)$ no?

Lo spazio X è compatto, infatti per assurdo X è connesso, allora

$EEx_1,...,x_k:XsubU_(x_1)uu...uuU_(x_k)$.

Perché?

Quindi $x_1,...,x_k$ sono successioni che differiscono tra loro per un numero infinito di indici, allora con questi indici è poissibile costruire una successione ${n_(k_i)}$.
Questa successione per costruzione non appartiene a nessuno degli intorni. X non è compatto.

Non è molto chiaro cosa vuoi dire.

A mio avviso sarebbe utile provare a mostrare che la relazione $x sim y \Leftrightarrow x in U_y$ è di equivalenza.

[fu^2]

In realtà a mio avviso ci sono un po' di cose poco chiare

chiedo consiglio su un esercizio interessante di topologia:

Sia X lo spazio delle successioni in $bb{F}_2={0,1}$. sia $x={x_i}_(i\in\NN)$ (o abbreviato ${x_i}$) una generica successione. Sia $U_x:={y\in\X:y_i=x_i" eccetto al più un numero finito di indici i"}$

1. Mostrare che $U_x$ costituisce una base per X
2. Con questa base X è connesso? è compatto?

soluzione
1. $X=uux:x={x_i}$ quindi associando al più un intorno definito come $U_x$ per ogni successione x, otteniamo $X=uu\U_x$. ovviamente $O/\in\uuU_x$.

Cosa intendi con $\uuU_x$? Intendo l'unione degli intorni sopra definiti

inoltre se $U_x$ e $U_z$ son due intorni, allora $U_xnnU_z=yinX:y_i=x_i ^^^y_i=z_i" eccetto un numero finito di indici"}$ quindi possiamo concludere che $U_xnnU_z=U_({x_i}nn{z_i})=U_(bary)$.

Cos'è ${x_i}nn{z_i}$ ? è l'intersezione delle due successioni che generano gli intorni, cioè è la successione fatta con tutti gli indici per cui $x_i=z_i$

Quindi $U_x$ genera una base per lo spazio X.
Definiamo quindi gli aperti di X gli elementi di questa base.

Forse intendi dire i sottoinsiemi di X che sono unione di alcuni $U_x$. SI

2. Lo spazio è sconnesso
Mostriamo che ogni intorno è sia aperto che chiuso:
Per mostrare che è aperto, mostriamo che possiamo ricavare un aperto da ogni intorno.

Ma scusa non sono aperti per definizione? Beh si... questo passaggio è superfluo, cioè ridondante

ogni $U_x$ è un chiuso, infatti $U_x=X-uuU_(x_k)$ (con $x_k$ son indicate le successioni che non appartengono a $U_x$

In base a cosa dici questo? Beh se $uuU_x$ formano una copertura di X, allora un qualsiasi elemento della base lo posso vedere in questo caso in questo modo...

e con il segno - intendo la sottrazione di insiemi in quanto tra dollari la simbologia corretta X\A non è letta) $=>U_x=nnX-U_(x_k)$ ma $X-U_(x_k)$ è un chiusoi in quanto $U_(x_k)$ è aperto per quanto mostrato prima, inoltre l'intersezione ualunque di chiusi è chiusa, quindi $U_x=nnX-U_(x_k)$ è chiuso.

Quindi X è sconnesso in quanto tutti gli $U_x$ sono sia aperti che chiusi.

(nota: se qualcuno riesce a trovare due insiemi disgiunti che partizionano X per far vedere che è sconnesso, me lo potrebbe dire che a me non vengono in mente )

Beh dato $x in X$ hai $X=U_x cup (X-U_x)$ no? ovviamente, troppo banale per pensarci oops:

Lo spazio X è compatto, infatti per assurdo X è connesso, allora

ehm qua è un errore di battitura, nella mia testa connesso e compatto suonano come suono allo stesso modo e scrivo l'un per l'altro senza volerlo... ho un pò di problemi di ingua... la frase corretta è mettendo compatto al posto di connesso è una cosa che mi capita spesso con due parole che iniziano con la stessa lettera e hanno un suono vagamente simile... scusate

$EEx_1,...,x_k:XsubU_(x_1)uu...uuU_(x_k)$.

Perché? perchè per assurdo X è compatto non connesso come ho scritto per errore, ora edito...

Quindi $x_1,...,x_k$ sono successioni che differiscono tra loro per un numero infinito di indici, allora con questi indici è poissibile costruire una successione ${n_(k_i)}$.
Questa successione per costruzione non appartiene a nessuno degli intorni. X non è compatto.

Non è molto chiaro cosa vuoi dire.
provo a scriver meglio: se $x_1,...,x_k$ formano gli intorni $Ux_1,...,Ux_k$ allora vuol dire che queste successioni tra loro differiscono per un numero infinito di indici. siano $i_k$ questi indici. questo vuol dire che la successione ${n_(i_k)}$ è costituita da elementi che differiscono per un numero infinito di indici da ogni successione, quindi per "costruzione" ${n_(i_k)}$ non appartiene a nessuno di questi intorni.

A mio avviso sarebbe utile provare a mostrare che la relazione $x sim y \Leftrightarrow x in U_y$ è di equivalenza.mmm e perchè questo dovrebbe portarmi a dire qualcosa sulla compatezza o meno? comunque si, quella scritta è una relazione di equivalenza...

[Martino]

Cos'è ${x_i}nn{z_i}$ ? è l'intersezione delle due successioni che generano gli intorni, cioè è la successione fatta con tutti gli indici per cui $x_i=z_i$

Non è molto chiaro. Cos'è la "successione fatta con tutti gli indici per cui $x_i=z_i$"?. Cioè, davvero, non capisco cosa vuoi dire. Prova a descriverla come funzione $NN to F_2$.

ogni $U_x$ è un chiuso, infatti $U_x=X-uuU_(x_k)$ (con $x_k$ son indicate le successioni che non appartengono a $U_x$

In base a cosa dici questo? Beh se $uuU_x$ formano una copertura di X, allora un qualsiasi elemento della base lo posso vedere in questo caso in questo modo...

Sì ma il fatto che $x_k$ non stia in $U_x$ non significa necessariamente che non ci siano elementi in $U_{x_k}$ che stanno in $U_x$. Cioè, se è vero, bisogna dimostrarlo.

provo a scriver meglio: se $x_1,...,x_k$ formano gli intorni $Ux_1,...,Ux_k$ allora vuol dire che queste successioni tra loro differiscono per un numero infinito di indici. siano $i_k$ questi indici.

Ma aspetta, cosa vuol dire "siano $i_k$ questi indici"? Ricorda che se $x,y,z in X$ e $x_i ne y_i ne z_i$ allora $x_i=z_i$ (in ${0,1}$ la relazione di diversità è drasticamente non transitiva).
Quindi dati due elementi puoi considerare l'insieme degli indici in cui differiscono, ma se ne hai più di due no. Per esempio se hai $x,y,z$, come puoi parlare degli indici per cui "$x,y,z$ differiscono" ? A mio avviso ciò non ha molto senso. [Edito: a meno che non ti riferisci agli indici $i$ per cui non è vero che $x_i=y_i=z_i$, era questo che intendevi?] [Edito: Come sono definiti gli $n_{i_k}$? (non mi pare che tu l'abbia detto)]

Se sai che la relazione $x sim y \Leftrightarrow x in U_y$ è di equivalenza allora poiché $U_x$ sono le classi di tale equivalenza, formano una partizione di $X$. In particolare sono a due a due disgiunti, quindi hai la sconnessione (scrivendo un aperto della base come complementare dell'unione degli altri). Se provi che sono infiniti hai anche la non-compattezza (perché un'unione disgiunta infinita di aperti non è certo un compatto).

[fu^2]

ogni $U_x$ è un chiuso, infatti $U_x=X-uuU_(x_k)$ (con $x_k$ son indicate le successioni che non appartengono a $U_x$

In base a cosa dici questo? Beh se $uuU_x$ formano una copertura di X, allora un qualsiasi elemento della base lo posso vedere in questo caso in questo modo...

Sì ma il fatto che $x_k$ non stia in $U_x$ non significa necessariamente che non ci siano elementi in $U_{x_k}$ che stanno in $U_x$. Cioè, se è vero, bisogna dimostrarlo.


$U_(x_k)$ non ha elementi in comune con $U_x$ in quanto, se per assurdo esistesse una successione y che sta sia in $U_(x_k)$, sia in $U_x$, allora differirebbe per numero finito di indici da $x_k$ e $x$, quindi $x_k$ differirebbe per un numero finito di indici da $x$, quindi $U_(x_k)=U_x$.

giusto, questo fatto mi fa pensare che devo aggiustare quanto detto: Se gli intorni U gli vedo come classi di equivalenza, come mi suggerivi te (in quanto la relazione $x\ro\y<=>x\in\U_y$ è di eqivalenza così ad occhio..), allora li posso vedere in qesto modo, se no a priori possono sovrapporsi benissimo, cioè sarebbero lo stesso insieme con il rappresentante cambiato, ma a priori son intorni diversi, bisogna quindi aggiungere che se due intorni coincidono allora sono lo stesso.
In questo modo è corretto quello che dico, gisto?

provo a scriver meglio: se $x_1,...,x_k$ formano gli intorni $Ux_1,...,Ux_k$ allora vuol dire che queste successioni tra loro differiscono per un numero infinito di indici. siano $i_k$ questi indici.

Ma aspetta, cosa vuol dire "siano $i_k$ questi indici"? Ricorda che se $x,y,z in X$ e $x_i ne y_i ne z_i$ allora $x_i=z_i$ (in ${0,1}$ la relazione di diversità è drasticamente non transitiva).
Quindi dati due elementi puoi considerare l'insieme degli indici in cui differiscono, ma se ne hai più di due no. Per esempio se hai $x,y,z$, come puoi parlare degli indici per cui "$x,y,z$ differiscono" ? A mio avviso ciò non ha molto senso. [Edito: a meno che non ti riferisci agli indici $i$ per cui non è vero che $x_i=y_i=z_i$, era questo che intendevi?] [Edito: Come sono definiti gli $n_{i_k}$? (non mi pare che tu l'abbia detto)]


Allora facciamo chiarezza mettendo insieme i pezzi
differiscono per un numero infinito di indici intendo dire che se per esempio $U_x,U_y,U_z$ sono tre intorni diversi, allora $x,y$ differiscono per un numero infinito di indici, cioè $x_i!=y_i$ per un numero infinito di $i\in\NN^*$, allo stesso modo y con z e z con x.
(quindi si come hai accennato nella "editata", si forse non ho definito molto bene cosa intendevo, mi scuso per questo )


In ogni caso posso supporre che comunque abbiano infiniti indici in comune, cioè esistano infiniti $i\in\NN$ tali per cui $x_i=y_i=z_i$. allora definisco n successione ${n_i}$ nel seguente modo: $n_(2k)=x_i$ con i un indice per cui vale $x_i=y_i=z_i$ e k un indice che parte da 0, per poter indicizzare in seqenza la successione (nota, al variare di k, varia anche i, ogni posizione la uso una sola volta).
Quindi se prendo come $n_(2k+1)$ ogni volta un elemento per cui $x_i!=y_i$ o $y_i!=z_i$ o $z_i!=x_i$ allora, per l'infinità degli indici della forma $2k+1$ che ho a disposizione, la successione ${n_i}$ differisce per un numero infinito di indici sia da x che da y che da z. Non trovi?

Questo è un esempio su tre successioni distinte, se consideri un'ipotesi in cui prendi una generica copertra finita di X con intorni distinti formata dalle successioni $x_1,...,x_k$, con le stesse argomentazioni costruisci la successione n. Quindi riconcludi che X non è compatto.
Concordi?

[Martino]

In ogni caso posso supporre che comunque abbiano infiniti indici in comune, cioè esistano infiniti $i\in\NN$ tali per cui $x_i=y_i=z_i$. allora definisco n successione ${n_i}$ nel seguente modo: $n_(2k)=x_i$ con i un indice per cui vale $x_i=y_i=z_i$ e k un indice che parte da 0, per poter indicizzare in seqenza la successione (nota, al variare di k, varia anche i, ogni posizione la uso una sola volta).
Quindi se prendo come $n_(2k+1)$ ogni volta un elemento per cui $x_i!=y_i$ o $y_i!=z_i$ o $z_i!=x_i$ allora, per l'infinità degli indici della forma $2k+1$ che ho a disposizione, la successione ${n_i}$ differisce per un numero infinito di indici sia da x che da y che da z. Non trovi?

Forse ho capito. Intendi dire che $n_{2k}$ è uguale a $x_{i_k}$ dove $i_k$ è il $k$-esimo indice in cui $x,y,z$ coincidono. E $n_{2k+1}$ è $x_{j_k}$, dove $j_k$ è il $k$-esimo indice in cui $x,y,z$ non coincidono. Giusto?

A parte che mi sembra una costruzione un bel po' laboriosa, in questo modo gli indici sono tutti scombinati. Cioè, come puoi confrontare $n_i$ con $x_i$, $y_i$, $z_i$ ? Non so se mi spiego. Come puoi confrontare per esempio $x_{2k+1}$ (= la coordinata $2k+1$ di $x$) con $n_{2k+1}$ (= $x_{j_k}$ dove $j_k$ è la $k$-esima coordinata per cui $x,y,z$ non coincidono) ?
Cioè... (magari sono io, ma a me tutto ciò sembra davvero laborioso)

Come ti dicevo io farei così: innanzitutto mostrerei che la relazione $x sim y\ \Leftrightarrow x \in U_y$ è di equivalenza. Per fare questo definisco per $x,y in X$ l'insieme $D(x,y)=\{n in NN\ |\ x_n ne y_n\}$. Allora $x in U_y$ se e solo se $D(x,y)$ è finito. Allora le tre proprietà sono subito verificate:
- riflessiva: $D(x,x)$ è vuoto e quindi finito;
- simmetrica: banalmente $D(x,y)=D(y,x)$;
- transitiva: se $x,y,z in X$ allora $D(x,z) subseteq D(x,y) cup D(y,z)$ è finito se $D(x,y)$ e $D(y,z)$ sono finiti.

La classe di $x$ consiste di quegli $y in X$ per cui $D(x,y)$ è finito, quindi è proprio $U_x$. Quindi gli $U_x$ formano una partizione di $X$.

Ora gli $U_x$ sono infiniti perché se definiamo per ogni primo $p$ la successione $g(p):NN to {0,1}$ che vale $1$ esattamente sui multipli di $p$ (cioè: $g(p)(n)=1$ se e solo se $p$ divide $n$) allora dati due primi distinti $p$ e $q$ abbiamo che $g(p)$ e $g(q)$ non sono in relazione, infatti $D(g(p),g(q))={n in NN\ |\ g(p)(n) ne g(q)(n)} supseteq {p^k\ |\ k in NN} cup {q^k\ |\ k in NN}$ è chiaramente infinito. Quindi gli $U_{g(p)}$ sono infinite classi a due a due distinte.

- siccome gli $U_x$ sono infiniti, sono più di uno, quindi scrivendo $X=U_x cup (X-U_x)$ per un fissato $x in X$ la sconnessione è provata.
- il ricoprimento aperto infinito $(U_x)_x$ non ammette sottoricoprimenti finiti perché si tratta di una partizione di $X$. Da cui la non compattezza.

$X$ è uno spazio che ammette una base che è una sua partizione infinita di chiusaperti ognuno con più di un elemento. Quindi in particolare nessun punto di $X$ è chiuso, e di conseguenza $X$ è molto lontano dall'essere di Hausdorff

[fu^2]

si a pensarci direi che forse la successione è un pò labboriosa, bisognerebbe giocare meglio con l'indice
è simpatica la tua soluzione! alla prossima discussione ! ciaooo