iteuler ha scritto:si, ero convinto che la successione convergesse a 1 dato che $|n/(1+n) -1| -> 0$ tuttavia ora mi rendo conto che $|n/(1+n) -1| != d_1(n, 1)$
Approfitto per porre un' altra domanda:
posto $X=(0, 1]$ e $d(x,y) = |1/x-1/y|$ provare che $(X,d)$ è completo.
Provo con un'idea semplice.
L'applicazione $phi(x)=1/x$ è un omeomorfismo di $]0,1]$ in $[1,+oo[$ (facile) e, fissati $x,y in ]0,1]$, si ha $d(x,y)=|phi(x)-phi(y)|$ (e viceversa, fissati $xi, eta in [1,+oo[$ si ha $|xi-eta|=d(phi^(-1)(xi),phi^(-1)(eta))$) cosicché $(X,d)$ è anche isometrico a $([1,+oo[,|\cdot|)$; visto che la completezza è una proprietà che si preserva per omeomorfismi isometrici e dato che $([1,+oo[,|\cdot|)$ è completo, lo spazio $(X,d)$ è completo.
Vi piace?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)