Topologia: Spazio completo

[iteuler]

Riporto un esempio tratto dal mio libro:
Si considerino le due distanze $d(x,y)=|x-y|$ e $d_1(x,y)=|x/(1+|x|)-y/(1+|y|)|$, su $RR$ sono topologicamente equivalenti. La successione ${n}_(n in NN)$ è fondamentale in $(RR, d_1)$ mentre non lo è in $(RR, d)$. Dato che ${n}$ non è convergente lo spazio metrico $(RR, d_1)$ non è completo.


Non riesco a capire perché ${n}$ vista come successione in $(RR, d_1)$ non sia convergente

[Fioravante Patrone]

Prova a "rovesciare la prospettiva".

Prendi un numero reale e domandati se potrebbe convergere a quel numero reale.
Magari puoi provare prima con 0, poi con 1, poi con un generico r.

[iteuler]

si, ero convinto che la successione convergesse a 1 dato che $|n/(1+n) -1| -> 0$ tuttavia ora mi rendo conto che $|n/(1+n) -1| != d_1(n, 1)$

Approfitto per porre un' altra domanda:
posto $X=(0, 1]$ e $d(x,y) = |1/x-1/y|$ provare che $(X,d)$ è completo.

[gugo82]

si, ero convinto che la successione convergesse a 1 dato che $|n/(1+n) -1| -> 0$ tuttavia ora mi rendo conto che $|n/(1+n) -1| != d_1(n, 1)$

Approfitto per porre un' altra domanda:
posto $X=(0, 1]$ e $d(x,y) = |1/x-1/y|$ provare che $(X,d)$ è completo.

Provo con un'idea semplice.

L'applicazione $phi(x)=1/x$ è un omeomorfismo di $]0,1]$ in $[1,+oo[$ (facile) e, fissati $x,y in ]0,1]$, si ha $d(x,y)=|phi(x)-phi(y)|$ (e viceversa, fissati $xi, eta in [1,+oo[$ si ha $|xi-eta|=d(phi^(-1)(xi),phi^(-1)(eta))$) cosicché $(X,d)$ è anche isometrico a $([1,+oo[,|\cdot|)$; visto che la completezza è una proprietà che si preserva per omeomorfismi isometrici e dato che $([1,+oo[,|\cdot|)$ è completo, lo spazio $(X,d)$ è completo.

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[Fioravante Patrone]

Vi piace?

Come dire di no?

E' un classico caso di "reverse engineering". Voglio dire, l'idea di definire quella metrica "strana" su (0,1] viene proprio a partire da quella corrispondenza biunivoca

[iteuler]

... visto che la completezza è una proprietà che si preserva per omeomorfismi isometrici ...

quindi la completezza pur non essendo una proprietà topologica passa per omeomorfismi isometrici ... credo mi serva un buon libro di topologia

[gugo82]

... visto che la completezza è una proprietà che si preserva per omeomorfismi isometrici ...

quindi la completezza pur non essendo una proprietà topologica passa per omeomorfismi isometrici ... credo mi serva un buon libro di topologia

Veramente è una cosa che si può provare in due righe... non penso serva un libro!

[ViciousGoblin]

... visto che la completezza è una proprietà che si preserva per omeomorfismi isometrici ...

quindi la completezza pur non essendo una proprietà topologica passa per omeomorfismi isometrici ... credo mi serva un buon libro di topologia

credo che la parola "isometrici" dovrebbe metterti sull'avviso ....