norma operatore

[blunotte]

Sapreste dirmi un esempio per cui dato un operatore lineare limitato (e quindi continuo) $L: X\rightarrow Y$ non valga la seguente:
esiste sempre un $x \in X, x!=0,$ tale che $||Tx||_Y = ||T||*||x||_X$.

Credo che in pratica dovremmo trovare un esempio in cui la norma dell'operatore lineare (limitato) non è raggiunta cioè che è un sup e non un max![/b]

[gugo82]

Ora non mi vengono esempi, ma si dovrebbe poter fare...

Mi pare che in generale anche per i funzionali lineari limitati la norma non sia sempre un $max$ se lo spazio di partenza non è riflessivo: pertanto se vuoi provare a semplificare puoi cercare qualche funzionale su $L^1$, su $C$ oppure su $c_0$ o su $l^1$ (che non sono riflessivi!).

[ViciousGoblin]

Puoi prendere $X={f:[0,1]\to RR:f \text{ continua}, f(0)=f(1)=0}$ con la norma del sup e $T:X\to RR$ definito
da $Tf=\int_0^1f(x)dx$. Puoi verificare che $||T||=1$ ma che non c'è nessuna $f$ con $||f||_\infty=1$ tale che
$Tf=1$

[blunotte]

Grazie per l'aiuto, l'unica cosa che non mi è chiara è questa affermazione:

non c'è nessuna $f$ con $||f||_\infty=1$ tale che $Tf=1$

Perché dovremmo cercare proprio una $f$ con $||f||_\infty=1$ tale che $Tf=1$? (e in ogni caso come lo dimostro?)
Non dovremmo cercare una $f$ con $||f||_\infty=|Tf|$?
Forse è analogo o addirattura la stessa cosa, ma non vedo come giustificarlo..

[blunotte]

Altra domanda: sempre dato un funzionale lineare limitato è vero che $Im(T)={y \in Y | EEx \in X \mbox{tale che} y=f(x)}$ è un sottospazio lineare chiuso di Y?
Ho dimostrato che è sottospazio lineare (banalmente), ma non sono sicura se sia chiuso..
Presa una successione $(y_n)\in Im(T)$ tale che $y_n \rightarrow y \in Y$ ($n\rightarrow oo$) allora $y\in Im(T)$?
Intuitivamente mi verrebbe da dire di no, ma magari la limitatezza e la linearità di $T$ fanno sì che $Im(T)$ sia chiuso...

[ViciousGoblin]

Grazie per l'aiuto, l'unica cosa che non mi è chiara è questa affermazione:

non c'è nessuna $f$ con $||f||_\infty=1$ tale che $Tf=1$

Perché dovremmo cercare proprio una $f$ con $||f||_\infty=1$ tale che $Tf=1$? (e in ogni caso come lo dimostro?)
Non dovremmo cercare una $f$ con $||f||_\infty=|Tf|$?
Forse è analogo o addirattura la stessa cosa, ma non vedo come giustificarlo..

Beh tu volevi una $f$ tale che $|Tf|=||T|| ||f||_\infty$ giusto ? Questo è lo stesso che dire
$||f||_infty \ne0$ (a meno che non sia $ ||T||=0$) e $|T(f(||f||-\infty)|=||T||$.
Quindi puoi sempre supporre che $||f||_\infty=1$.
In effetti la norma di $T$ la puoi sempre vedere come $"sup"{||Tf|| : ||f||=1}$.

Venendo all'esempio concreto direi che è evidente
$|Tf|=\int_0^1f(x)dx|\leq ||f||_\infty$ da cui $||T||\leq 1$.
Peraltro se prendi $f_n(x)=1$ per $1/n \le x\le 1-1/n$ e raccordi
$f_n(x)$ a zero in modo lineare, allora vedi che $||f_n||_\infty=1$ e
$|Tf_n|\geq\int_{1/n}^{1-1/n}1dx=1-2/n$ e dunque $||T||\geq 1-2/n$.

Questo dimostra che $||T||=1$. Supponiamo ora che ci sia una funzione $f$ continua e nulla agli estremi tale che
$|Tf|=||T|| ||f||_\infty$, come detto prima possiamo supporre $||f||_\infty=1$ , cioè $|f(x)|\leq 1$. Allora:
$1=||T||=|Tf|=|\int_0^1f(x)dx|\leq\int_0^1|f(x)|dx\leq ||f||_\infty=1$.
Dunue $\int_0^1|f(x)|dx=1$ cioè $\int_0^1(1-|f(x)|)dx=0$.
Ma l'ultimo integrando è non negativo e quindi dovrebbe essere $|f(x)|=1$ per ogni $x$, contro
l'ipotesi che $f$ si annulli agli estremi.


Per quanto riguarda l'immagine di un operatore lineare è in generale falso che essa sia chiusa, anzi la
proprietà di "rango chiuso" è spesso una proprietà chiave da dimostrare (ed è vera per molte classi importanti di operatori).
Per vedere un controesempio puoi prendere l'mmersione da $L^2(0,1)$ in $L^1(0,1)$ che è lineare e continua ma che non
ha immagine chiusa, dato che $L^2$ è denso in $L^1$ ( e non coincide con $L^1$)