Sistema

[n.icola]

Ciao,
scusate la banalità ma non so risolvere questo sistema

${((3y^2 + 6xy + 6x + 6y + 3 = 0),(3x^2 + 6xy + 6x + 6y + 3 = 0))$

non so se si può fare anche se il sistema non è lineare ma ho sottratto le due equazioni ottenendo $y^2 - x^2 = 0$ e quindi se non sbaglio $x = +- y$
sostituendo poi nella seconda mi verrebbero $y = -1/3$ e $y = -1$

ci sono quasi ma c'è ancora qualcosa che non va e soprattutto all'inizio non sapevo neanche da dove partire

[Camillo]

Sommare le due equazioni membro a membro e ottenere una nuova equazione è corretto e non dipende dal fatto che il sistema sia lineare o no.
Non hai però indicato tutte le soluzioni in quanto come tu dici trovi che $ x = +-y $ , sembra che tutto abbia poi considerato solo $ x=y $ che dà le radici da te trovate che sono $ x=y = -1/3 ; x=y= -1 $.
Adesso devi provare con $ y = -x $ e troverai altre 2 radici .

[n.icola]

Intanto grazie,
è vero non ho considerato $x = -y$ e quindi sostituendo trovo $y = +-1$,
però adesso non capisco una cosa,
so che il sistema non può avere più di quattro soluzioni ma invece cosi ne ottengo sei, $x = +-y$
ma tu hai anche scritto $x = y = -1/3$ e $x = y = -1$ e infatti provando ad esempio $x = 1/3$ non va bene ma non capisco perchè

[Camillo]

Oltre alle soluzioni che avevo indicato prima e che anche tu avevi individuato adesso sfruttando la relazione $ x = -y $ si ottengono le due ulteriri soluzioni che sono $ x= -1,y = 1 $; ed anche $ x= 1,y=-1$ , per un totale quindi di 4 soluzioni ( naturalemnte ogni coppia $x,y $ è una soluzione )

[n.icola]

Adesso ho capito cosa volevi dire con $x = y = -1/3$,
$y = -1/3$ la ottengo dalla relazione $x = y$ e quindi $(1/3, -1/3)$ non puo essere una soluzione,

grazie Camillo

[Camillo]

Approfondendo un po' il discorso, dividendo entrambe le equazioni per $ 3$ e raccogliendo opportunamento a fattor comune ( o usando le tecniche standard che permettono di identificare il tipo di conica data la sua equazione ) si arriva a questo sistema :

$(y+1)(y+1+2x) = 0 $
$(x+1)( x+1+2y) =0 $.
Ognuna delle due coniche è quindi degenere , sono in realtà coppie di rette
$ y+1 =0 ; y+2x+1=0 $
$x+1=0 ; x+1+2y=0 $
le cui intersezioni danno appunto le soluzioni del sistema .