Prodotto scalare polinomiale

[dev_vin]

si trovi la matrice associata al prodotto scalare
<p,q>=-p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)

rispetto alla base {1,x,x^2}

vi prego aiutatemi...

[killing_buddha]

Ma sta applicazione va da $\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$?

[amel]

Non vedo il problema... Basta scrivere la matrice:
$(<v_i,v_j>)$, $i,j=1,2,3$, dove
$v_1=1, v_2=x, v_3=x^2$.
Sbaglio?

P.S.: Notare che il prodotto scalare non è nè semidefinito positivo nè semidefinito negativo...

P.S. 2: $<,>:RR[x]_2 \ x \ RR[x]_2 -> RR$

[killing_buddha]

Si, scusate, un brutto lapsus

[gugo82]

P.S.: Notare che il prodotto scalare non è nè semidefinito positivo nè semidefinito negativo...

P.S. 2: $<,>:\mathbf{K}[x]_2 \ x \ \mathbf{K}[x]_2 -> RR$

Scusate ma allora $langle \cdot , \cdot rangle$ non sarebbe un prodotto scalare in $\mathbf{K}[x]_2$... Si tratterebbe semplicemente di un'applicazione bilineare.

Infatti, mentre si ha $langle p, p rangle = p(0)^2+p(1)^2+p(-1)^2 ge0$ per ogni $p in \mathbf{K}[x]_2$, la condizione $langle p,p rangle = 0$ non implica necessariamente $p=0$ (tuttavia se il campo $\mathbf{K}$ è infinito allora un polinomio di grado $2$ che ha tre zeri è identicamente nullo, o sbaglio?).

[Martino]

$<p,q>$ $=-p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)$

Giusto?

@Gugo82: se $K$ è un qualunque campo allora ogni polinomio di $K[X]$ di grado $n$ ha al più $n$ zeri. Ma non credo che ciò si possa applicare qui, per via di quel $-$ che c'è davanti a $p(0)q(0)$.

Anzi credo proprio che questa forma $<cdot,cdot>$ ammetta un bel po' di polinomi isotropi (quindi non è un prodotto scalare?).

[gugo82]

Chiedo venia, non avevo visto il $-$ iniziale.

Allora tanto vale dire che $langle \cdot, \cdot rangle$ è una forma bilineare e basta, tanto più che nella definizione di prodotto scalare è insita la definitezza positiva.

[dev_vin]

ma la matrice associata qual è??

[gugo82]

ma la matrice associata qual è??

Fai i conti seguendo il consiglio di amel:

Basta scrivere la matrice:
$( langle v_i,v_j rangle)$, $i,j=1,2,3$, dove
$v_1=1, v_2=x, v_3=x^2$.

Non è difficile.

[dev_vin]

sono mooolto ignorante=)
nn è che mi potresti postare la matrice??!!