Da matrice associata a applicazione lineare...

[benjaminlinus]

Salve, vorrei capire come è possibile determinare un'applicazione lineare a partire da una matrice associata rispetto ad una base (di partenza e di arrivo) che non sia quella canonica.
Vi ringrazio della disponibilità!

[franced]

Salve, vorrei capire come è possibile determinare un'applicazione lineare a partire da una matrice associata rispetto ad una base (di partenza e di arrivo) che non sia quella canonica.
Vi ringrazio della disponibilità!

Ti serve la matrice del cambiamento di base.

[benjaminlinus]

non so proprio da dove cominciare, non è che puoi farmi 1 esempio? grazie mille!

[benjaminlinus]

Sei un grandissimo!! Grazie mille, non so come avrei fatto!

Avrei un altro favore da chiedere...non so se è necessario aprire un altro topic, comunque intanto lo porto qui:
ho trovato un esercizio del genere su internet, però purtroppo non c'è la risoluzione e anche su questo argomento ho delle lacune...

Nello spazio vettoriale $R_3[t]$ dei polinomi di grado <= 3 nella variabile x, si consideri

$P = {p(t) ccE R_3[t] : p(1) = 0}$
Verificare che P è un sottospazio di $R_3[x]$ e determinarne una base e dimensione.

io ho pensato a questa cosa: so che il polinomio generico in $R_3[x]$ è $a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3$ quindi sostituisco a t 1 e impongo polinomio = 0 ...
è giusto, e poi comunque sia perchè questa strana scrittura?

[nirvana]

Sei un grandissimo!! Grazie mille, non so come avrei fatto!

Avrei un altro favore da chiedere...non so se è necessario aprire un altro topic, comunque intanto lo porto qui:
ho trovato un esercizio del genere su internet, però purtroppo non c'è la risoluzione e anche su questo argomento ho delle lacune...

Nello spazio vettoriale $R_3[t]$ dei polinomi di grado <= 3 nella variabile x, si consideri

$P = {p(t) ccE R_3[t] : p(1) = 0}$
Verificare che P è un sottospazio di $R_3[x]$ e determinarne una base e dimensione.

io ho pensato a questa cosa: so che il polinomio generico in $R_3[x]$ è $a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3$ quindi sostituisco a t 1 e impongo polinomio = 0 ...
è giusto, e poi comunque sia perchè questa strana scrittura?

Per verificare che sia un sottospazio:

Dimostrare:
1) $p, q in P$ allora $p+q in P$
2) $lambda in R$, $p in P$ allora $lambda*p in P$

1) $(p+q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0$ (cvd)
2) $(lambda*p)(1)=lambda*p(1)=lambda*0=0$ (cvd)

[dissonance]

Io proverei a dimostrare che l'applicazione $p|->p(1)$ è una applicazione lineare (che poi è quello che ha fatto nirvana).
Quindi il tuo insieme P è il suo nucleo. Usando quello che ti ha spiegato prima Sergio, puoi provare a determinarne la dimensione e una base. ciao!

[benjaminlinus]

ho provato a cercare base e dimensione....

la condizione $p(1)=0$ equivale a $a_0+a_1+a_2+a_3=0$

da cui $a_0=-a_1-a_2-a_3$

sostituendo in $p(t)$ si ha $-a_1-a_2-a_3+a_1t+a_2t^2+a_3t^3=0$ ovvero $a_1(t-1)+a_2(t^2-1)+a_3(t^3-1)=0$

quindi P ha dimensione 3, ed una sua base è $(t-1,t^2-1,t^3-1)$

Confermate?

In un esercizio simile in cui ho $p(0)=0$ avrei $a_0=0$ e quindi sostituendo $a_1t+a_2t^2+a_3t^3=0$

anche in questo caso P ha dimensione 3, ed una sua base è $(t,t^2,t^3)$.

Un'ultima cosa: se dovessi mostrare che ${p(t) in R_3[t]:p(1)=1}$ è un sottospazio di $R_3[t]$ seguendo il procedimento di nirvana avrei

1. $(p+q)(1)=p(1)+q(1)=1+1=2$ che fa 1 e quindi non verifica la condizione,
2. $(lambdap)(1)=lambdap(1)=lambda*1$ che fa 1 se e solo se $lambda=1$

in definitiva P non è sottospazio

è corretto?