dubbio versore normale

[ELWOOD]

Ragazzi ho un dubbio....perchè la derivata del versore tangente ad una curva è $1/(\rho)\bar{n}$ ?

Cioè non capisco da dove viene il fatto che derivando $\tau$ mi esce una cosa che ha le dimensioni inverse ad una distanza? Perchè se $\tau$ è un versore ha dimensioni unitarie così come la sua derivata

[david_e]

La derivata rispetto a una componente spaziale, dimensionalmente corrisponde a una divisione per una lunghezza... per cui dimensionalmente è giusto che venga $1/\rho \bar{n}$.

Per il resto dato che $\tau$ è unitario è abbastanza semplice vedere che la sua derivata rispetto all'ascissa curvilinea è un vettore ortogonale a $\tau$, a questo punto basta chiamare $\rho$ la costante di normalizzazione (quella che rende $\rho {d\tau}/{ds}$ un versore) e il gioco è fatto.

[ELWOOD]

grazie!
è vero $(d\tau)/(ds)$ corrisponde dimensionalmente a $[1/m]$ ma perchè viene proprio $1/(\rho)$ dove $\rho$ è un raggio di curvatura?
bo magari mi sto arrovellando su una cavolata

[david_e]

E' proprio la definizione di raggio di curvatura quella: la grandezza che "salta fuori" facendo la derivata del versore normale la si chiama "raggio di curvatura"...

[ELWOOD]

allora è una definizione o ne deriva da osservazioni sperimentali?
Perchè solitamente facendo la derivata di un vettore unitario....il risultato dovrebbe essere anch'esso un versore unitario no?invece di ottenere una qualche grandezza diversa da uno

[david_e]

Si possono dare varie definizioni diverse di raggio di curvatura... poi chiaramente si dimostra che sono equivalenti. Una delle definizioni è proprio la funzione $\rho$ tale che:

$ {d\tau}/{ds}={1}/{\rho}\bar{n} $

Inoltre non c'è nessun motivo per cui la derivata di un versore sia ancora un versore, anzi in generale non è così. Il fatto che $\tau$ sia un versore, piuttosto, implica che la sua derivata sia un vettore ortogonale a $\tau$, ma non da restrizioni sul modulo del vettore derivato.

[Cmax]

No, non c'è nessuna regola che lo imponga: per esempio, la derivata di un versore costante ha modulo nullo. Per fissare le idee, considera il caso, abbastanza intuitivo, di una curva nel piano. In questo caso il raggio di curvatura (o per usare un termine arcaico, del cerchio osculatore) è deducibile da considerazioni geometriche. È noto (puoi trovare la spiegazione in qualsiasi testo), che per una curva $y=f(x)$ il raggio di curvatura è $\rho=\frac{(1+y'^2)^{3/2}}{y''}$, mentre se è data in forma parametrica $(x(t),y(t))$ allora $\rho=\frac{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{3/2}}{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}$ Il vettore unitario tangente è$(\frac{\dot{x}}{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{1/2}},\frac{\dot{y}}{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{1/2}})$. Se derivi rispetto a $t$ quest'ultima espressione, ottieni proprio la relazione ricercata.

[ELWOOD]

ok credo di aver colmato il dubbio!
grazie infinite ad entrambi