Dualità di spazi vettoriali

[Dorian]

Abbiamo $V$ spazio vettoriale su un corpo $K$, $V$* = $Hom(V,K)$ e $V$**=$Hom(V$*$,K)$;

Esiste un isomorfismo di spazi vettoriali $phi: V->V$** che al vettore $v$ associa l'elemento $v$**, dove $v$** $:V$*$->K$, che a $v$* associa il numero $v$*$(v)$.

Si dice che questo isomorfismo permette di identificare $V$ con $V$** (fin qui tutto ok...). Ciò che non mi è chiaro è il motivo che ci porta ad affermare che $V$ e $V$** sono isomorfi in modo canonico... Qualcuno mi chiarisce le idee per favore?

[alberto86]

tutto questo è vero se lo spazio vettoriale ha dimensione finita..comunque la "canonicità" deriva dal fatto che tale isomorfismo non dipende dalla scelta della base per $V$..per esempio se hai una base $v_1,...v_n$ per $V$ e consideri i funzionali $\xi_i : V -> K$ $i=1,...n$ tali che sui vettori della base valgono $\xi_i(v_i)=1$ e $\xi_i(v_j)=0$ allora si dimostra che tali $\xi_i$ $i=1,...n$ formano una base di $V*$ e quindi ti permettono di costruire un isomorfismo (basta mandare $v_i$ in $\xi_i$ )tra $V$ e $V*$ che però dipende dalla scelta della base fissata.. nel caso del doppio duale la situazione è diversa..l'isomorfismo è fatto in questo modo: prendi $v \in V$ e gli associ il funzionale in $V**$ $\overline{v}: V* -> K$ tale che $\overline{v}(\varphi):=\varphi(v)$ si dimostra facilmente che questo è un isomorfismo e per come è fatto non dipende dalla base scelta in $V$..spero di averti chiarito le idee

[dissonance]

usa \bar, non \overline, sennò lo legge come "invalid-markup"

[Dorian]

tutto questo è vero se lo spazio vettoriale ha dimensione finita..comunque la "canonicità" deriva dal fatto che tale isomorfismo non dipende dalla scelta della base per $V$..per esempio se hai una base $v_1,...v_n$ per $V$ e consideri i funzionali $\xi_i : V -> K$ $i=1,...n$ tali che sui vettori della base valgono $\xi_i(v_i)=1$ e $\xi_i(v_j)=0$ allora si dimostra che tali $\xi_i$ $i=1,...n$ formano una base di $V*$ e quindi ti permettono di costruire un isomorfismo (basta mandare $v_i$ in $\xi_i$ )tra $V$ e $V*$ che però dipende dalla scelta della base fissata.. nel caso del doppio duale la situazione è diversa..l'isomorfismo è fatto in questo modo: prendi $v \in V$ e gli associ il funzionale in $V**$ $\overline{v}: V* -> K$ tale che $\overline{v}(\varphi):=\varphi(v)$ si dimostra facilmente che questo è un isomorfismo e per come è fatto non dipende dalla base scelta in $V$..spero di averti chiarito le idee

Ti ringrazio!