problema di algebra

[alpha]

salve a tutti, ho un piccolo problema con questo esercizio:
Verificare che le relazioni
${(f(1,1,0)=(0,0,1)),(f(1,0,1)=(1,1,0)),(f(1,1,1)=(1,1,1)):}$
definiscono un solo endomorfismo $f:RR^3 to RR^3$. Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di $(RR)^3$. Determinare una base A del dominio e una base B del codominio in modo che risulti
$M^(A,B)= ((0,0,1),(0,0,0),(1,0,0))$

la soluzione è questa:
$|(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)|= -1$ quindi le relazioni definiscono un solo endomirfismo.
La matrice sarà:
${(f(e_1)=(0,0,0)),(f(e_2)=(0,0,1)),(f(e_3)=(1,1,0)):}$ $rArr$ $M(f)= ((0,0,1),(0,0,1),(0,1,0))$
Per rispondere all'ultima richiesta, dette A= [$v_1, v_2, v_3$], B= [$w_1, w_2, w_3$] le basi incognite, dalla matrice si hanno le seguenti informazioni:
$f(v_1)=w_3 ; f(v_2)=0 ; f(v_3)=w_1$
sicchè $v_2 \epsilon Kerf=L(e_1)$. Così, presi ad esempio $v_1=e_2, v_3=e_3$ , si ha che
$w_1=f(w_3)=(1,1,0);$ $w_3=f(v_1)=f(e_2)=(0,0,1)$, quindi potremo assumere $w_2=(0,0,1)$

ma non riesco a capire come svolge l'ultimo punto; potreste aiutarmi?

[rubik]

nella base cercata se applichi due volte la funzione su il primo ed il terzo vettore della base ottieni l'identità quindi per trovarli puoi cercare i vettori tali che $f^2(v)=v$ e visto che nella base canonica hai scritto la matrice di trasformazione devi solo fare qualche conto. spero di essere stato chiaro altrimenti dimmelo, ciao

[alpha]

... non mi è proprio chiarissimo

[rubik]

innanzitutto prendi una base dello spazio in cui un vettore $v_2$ sta nel ker di f, gli altri due avranno le immagini linearmente indipendenti, siano $v_1,v_3$ i vettori della base di partenza basta chiamare $w_1=f(v_3)$ e $w_3=f(v_1)$ e prendere $w_2$ linearmente indipendente da $w_1$ e $w_3$ per ottenere quello che vogliamo (funziona?). Io in effetti credevo che si dovessero porre delle condizioni per questo parlavo di $f^2$ ma dovrebbe funzionare in questo modo che ti ho detto, comunque ti metto tutti i calcoli che avevo fatto provando nella prima maniera.

io ho sottointeso di prendere la stessa base nel domino e nel codominio (e non era affatto detto che funzionasse)
tu vuoi che la matrice associata alla trasformazione sia $((0,0,1),(0,0,0),(1,0,0))$ se elevi al quadrato la matrice ottieni $((1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))$ quindi questo vuol dire che i vettori che cerchi sono lasciati fissi da $f^2$ visto che f è sempre la stessa questi due vettori li puoi trovare tramite la $f^2$ scritta in componenti della base canonica, quindi

$((0,0,1),(0,0,1),(0,1,0))^2=((0,1,0),(0,1,0),(0,0,1))$

vogliamo quindi che $((0,1,0),(0,1,0),(0,0,1))((x),(y),(z))=((x),(y),(z))$ (sto proprio cercando i vettori lasciati fissi da $f^2$)
questo mi da il sottospazio di equazione x=y prendo una base (1,1,0) e (0,0,1) ottengo (casualmente ma si sarebbe potuto ottenere con un sistema lineare):

$((0,0,1),(0,0,1),(0,1,0))((1),(1),(0))=((0),(0),(1))$
$((0,0,1),(0,0,1),(0,1,0))((0),(0),(1))=((1),(1),(0))$

a questo punto ci manca un solo vettore nella base e sappiamo che deve stare nel ker percui prendiamo $e_1$.

spero stavolta vada meglio

[alpha]

ok, esercizio risolto, grazie

[rubik]

1 l'idea di base è che puoi definire un'applicazione lineare su una base e poi estendere per linearità, ovvero se ti dico che un'applicazione è lineare e ti dico come trasforma i vettori della base conosci automaticamente come si trasforma su ogni vettore dello spazio. quindi l'esercizio intendeva (in modo un po' implicito forse) considera l'applicazione lineare che trasforma quei tre vettori in quel modo, definisce un unico endomorfismo? la risposta è si perchè i tre vettori solo linearmente indipendente quindi non hai "gradi di libertà" sull'applicazione, se fossero stati solo due (o tre linearmente dipendenti) per avere un endomorfismo avresti dovuto fissare arbitrariamente il valore dell'applicazione su un terzo vettore lin indipendente dagli altri, e quindi non sarebbe stato unico. Il fatto che non sia suriettiva non è un problema, gli endomorfismi (di spazi vettoriali) sono applicazioni lineari da uno spazio in sè, senza ulteriori condizioni.

2 il tuo approccio funziona però sapendo che l'applicazione è lineare e $f(1,1,0)=(0,0,1)$ e $f(1,1,1)=(1,1,1)$ conosci $f(0,0,1)=f(1,1,1)-f(1,1,0)=(1,1,0)$ analogamente per gli altri

[rubik]

3 cerco di spiegare meglio quello che ho scritto sopra l'idea di $f^2$ (che è la primissima cosa che mi è venuta) confonde un po' le idee. il problema è più semplice di quello che sembra, una cosa che sappiamo è che un vettore della prima base va nel ker visto che il ker è di dimensione 1 questo vettore è univocamente determinato e lo prendiamo (sia $v_2$), gli altri due basta prenderli linearmente indipendenti a $v_2$, siano $v_1$ e $v_2$ e poi senza preoccuparci di molto definire la base nel codominio $w_1=f(v_3)$ e $w_3=f(v_1)$ se ti scrivi la matrice di trasformazione ottieni quella voluta. Io ho aggirato (in quello in cui ho fatto i conti) il problema delle due basi supponendo di usare la stessa in dominio e codominio (e casualmente o per come è fatto l'esercizio ha funzionato). L'idea di $f^2$ non è molto utile permette solo di trovare uno spazio di dim 2 dove scegliere $v_1$ e $v_2$ . provo a risolverlo anche nel secondo modo

il vettore del ker è $v_2=e_1$ prendo due vettori, indipendenti da $v_2$ (e diversi da quelli di sopra che so già che funzionano) quindi ad esempio $v_1=e_2$ e $v_3=e_3$ ora per far funzionare tutto definisco $w_1=f(v_3)=(1,1,0)$ e $w_3=f(v_1)=(0,0,1)$ se scrivo la matrice nelle basi ${v_i},{w_i}$ viene la matrice richiesta.

spero ora sia tutto più chiaro. rimango a disposizione per ulteriori chiarmenti ciao

[rubik]

per il primo punto hai ragione, se non definisci la funzione su almeno tre vettori linearmente indipendenti non è un'applicazione quindi la domanda è un po' ambigua io la interpreterei come "esiste un'unica applicazione lineare che trasforma quei vettori in quel modo?" in questo caso avrebbe più senso altrimenti non saprei.

per il terzo hai di nuovo ragione ho omesso di dire $w_2$ che non è il vettore nullo mi serve un terzo vettore (visto che ho $w_1$ e $w_3$) che mi formi una base, quindi ne prendo uno qualunque linearmente indipendente da quelli che ho già e ho $f(v_2)=0$ (perchè sta nel ker non conta quindi la base del codominio). Per quanto riguarda la scelta: è arbitraria ma l'esercizio chiedeva di trovare una base io ho scelto i vettori della base canonica perchè già conoscevo le immagini e non volevo fare altri conti tutto qua, qualunque altri 2 vettori lin indipendenti da $v_2$ sarebbero andati bene.

se hai altre questioni non farti scrupoli, per quanto posso mi fa piacere rispondere, ciao

[rubik]

se f è un'applicazione lineare e A è la matrice di rappresentazione in una data base, e x è un vettore scritto nelle componenti della base scelta allora f(x)=Ax (premoltiplicare?) questo è un fatto generale e si verifica abbastanza facilmente. Quindi le relazioni $f(v_1)=w_3$ e $f(v_3)=w_1$ si deducono: sia M la matrice dell'applicazione nelle basi ${v_1,v_2,v_3}$ e ${w_1,w_2,w_3}$ allora $M=((0,0,1),(0,0,0),(1,0,0))$ (per ipotesi) vediamo come si trasforma $v_1$ che scritto in componenti della base del domino risulta $((1),(0),(0))$

$f(v_1)=Mv_1=((0),(0),(1))=w_3$

bisogna sempre ricordarsi che se $x=av_1+b_2+cv_3$ allora x scritto nella base v è $((a),(b),(c))$ (solo nella base canonica componenti del vettore e coefficenti rispetto alla base coincidono). Il procedimento funziona in virtù del fatto che abbiamo imposto che la matrice sia quella per questo io non ho nemmeno verificato, bisogna ricordarsi anche che data un'applicazione lineare f e la matrice A di rappresentazione in qualche base l'immagine dell'i-esimo vettore della base del dominio tramite la f è la i-esima colonna della matrice A (e viceversa) e questo ci dice (senza fare i conti) che la matrice di trasformazione è quella che volevamo.

[rubik]

Se la matrice associata rispetto a date basi è $((0,0,1),(0,0,0),(1,0,0))$, allora questo vuol dire che le coordinate dell'immagine di $v_1$ rispetto alla base del codominio sono $(0,0,1)$, prima colonna della matrice, cioè che $f(v_1)=0w_1+0w_2+1w_3=w_3$.
Analogamente, le coordinate dell'immagine di $v_3$ sono $(1,0,0)$, terza colonna, quindi $f(v_3)=1w_1+0w_2+0w_3=w_1$.
Ancora più facile risulta $f(v_2)=0$

il senso è esattamente quello. ciao!