Intorno di un punto

[Gauss91]

Ciao a tutto il forum!
Ho un problema su un esercizio del mio libro di analisi.
Si ponga $f(x,y)=(x^2y)/(x^4+y^2)$
Si richiede verificare se, preso un $epsilon>0$, l'insieme $A = {(x,y): |f(x,y)|<=epsilon}$ è un intorno di $(0,0)$ oppure no.
Non so proprio come fare. Una possibile risposta è ovvia: si sa che l'insieme in questione NON è un intorno dell'origine, perché non esiste il limite di quella funzione nel punto $(0,0)$, tuttavia si richiede di dimostrarlo senza fare uso di questa informazione.
Io ho cercato di usare la definizione di intorno (in $R^3$, che è uno spazio metrico), e quindi propormi di verificare se A contiene o no una palla con centro $(0,0,0)$. Ma una volta arrivato a questo punto non saprei come andare avanti.
Se riusciste ad aiutarmi, mi fareste un grande favore! Grazie!

[rubik]

si potrebbe mostrare che per ogni intorno di (0,0) c'è un punto che non soddisfa quella relazione, e lo puoi fare trovando una successione $x_n$ che tende a (0,0) per cui $f(x_n)->+oo$ (credo si dimostri così che non è continua) questa potrebbe essere un idea, non ho controllato però che sia vero il limite

[Gauss91]

Ehm... non mi sembra: se io prendessi una successione $x_n$ che tende a $(0,0)$, allora $f(x_n)$ non tenderebbe all'infinito, dato che appunto non esiste il limite di $f(x)$ nel punto $(0,0)$.
Forse vuoi dire che dovrei trovare una successione $x_n$ tale che $EEi : f(x_i)rarroo$? Se non è così, allora non mi è chiaro quello che vuoi dire. Se invece è così, non ne capisco la motivazione.

[rubik]

tu dici che la funzione non è continua ed io non ho verificato comunque esisterà una successione $x_n$ tale che $f(x_n)$ tende ad infinito o a qualche valore diverso da zero. La condizione che si richiede (mi confonde il "preso un") credo si riferisca a per ogni $epsilon$ andrò avanti supponendolo nel caso $f(x_n)$ tenda ad infinito per nessun $epsilon$ vale quella condizione perchè ogni intorno dell'origine conterrà la successione da un certo indice in poi e quindi essendo $f(x_n)>epsilon$ se $n>>1$ nessun intorno verifica la condizione , mentre nel caso il limite sia finito L possiamo prendere ad esempio $epsilon=L/2$ e con lo stesso ragionamento di prima concludiamo che nessun intorno verifica la condizione per $epsilon$. spero sia più chiaro e soprattutto che sia giusto. ciao

[Gauss91]

Ciao.
Scusa, ho capito il tuo ragionamento, però questo non mi convince sul fatto che, dimostrando quello che hai detto tu, si risolva l'esercizio.
Comunque non c'è più il bisogno: fortunatamente (a volte capita e meno male!) mi è venuta un'illuminazione e ho trovato un metodo molto semplice e veloce per risolvere l'esercizio. Grazie comunque Rubik per la fatica che hai speso per aiutarmi! Ancora scusa. Ciao!
PS.: con questo, sono 100 messaggi!!! Evviva!