tipo di curva

[megaflare]

Salve vorrei sapere come si fa a sapere metodicamente se una curva è semplice o regolare o piana.
Per esempio la curva $r(t)=(t^3-t^2,t^4+2cost,3t-3sent)$ come posso sapere se è semplice, regolare o piana?
Grazie

EDIT: mi sono dimenticato di dire che t va da 0 a 1 compresi

[Akuma]

ciao, devi applicare le definizioni e fare delle considerazioni, non credo esista un metodo per capirlo "al volo"; una curva è piana quando ha una componente identicamente nulla, è regolare se le derivate delle componenti sono di classe $C^1$ e vale la relazione $|f'(t)|=sqrt([x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2)>0$ per ogni $t$, una curva si può dire anche generalmente regolare se è l'unione di un numero finito di curve regolari. si dice semplice se ogni suo punto proviene da un solo valore di $t$. nel tuo caso a priori si può solo dire che non è piana, per dire se è rogolare bisogna fare un po di conti, i quali, vista la curva, non mi sembrano tanto agevoli... e ovviamente bisogna anche sapere l'intervallo in cui varia $t$.

[Lord K]

Tu dici: "una curva è piana quando ha una componente identicamente nulla" ma la curva è piana quando è contenuta integralmente in un piano, ovvero se esiste una trasformazione rigida (rotazione, traslazione) che rende una componente della funzione traslata e ruotata identicamente nulla.

[rubik]

se una curva è piana vettore tg e normale appartengono sempre allo stesso piano e quindi il loro prodotto vettoriale è sempre il vettore normale al piano, quindi se una curva ha il binormale sempre diretto nella stessa direzione allora è piana altrimenti no.

[Akuma]

si avete ragione, avevo solo considerato una curva che sta in uno dei piani definiti dagli assi...

[franced]

se una curva è piana vettore tg e normale appartengono sempre allo stesso piano e quindi il loro prodotto vettoriale è sempre il vettore normale al piano, quindi se una curva ha il binormale sempre diretto nella stessa direzione allora è piana altrimenti no.

Più semplice:

prendi tre punti della curva affinemente indipendenti, calcoli l'equazione del piano
e verifichi se la curva è interamente contenuta nel piano.

[rubik]

Più semplice:

prendi tre punti della curva affinemente indipendenti, calcoli l'equazione del piano
e verifichi se la curva è interamente contenuta nel piano.

in effetti

si avete ragione, avevo solo considerato una curva che sta in uno dei piani definiti dagli assi...

io ieri ho detto che log(a-b)=loga-logb qualche svista capita