Dimostrazione topologia

[prime_number]

Ciao! Non sono assolutamente capace di dimostrare la seguente implicazione:
Sia X spazio topologico. Gli unici sottospazi di X aperti e chiusi sono solo X e $\emptyset \Rightarrow $X è connesso.
Se magari prima mi date un input, così provo...

Paola

[Martino]

Wei!

Supponi per assurdo che X sia sconnesso e che gli unici sottospazi aperti e chiusi di X siano X e $emptyset$.
Poiché X è sconnesso, esso si scrive come unione disgiunta di due aperti (per definizione). Prova a pensare al "ruolo" di tali due aperti.

[ViciousGoblin]

Ciao! Non sono assolutamente capace di dimostrare la seguente implicazione:
Sia X spazio topologico. Gli unici sottospazi di X aperti e chiusi sono solo X e $\emptyset \Rightarrow $X è connesso.
Se magari prima mi date un input, così provo...

Paola

A me pare che la proprietà che scrivi sia proprio la DEFINIZINE di connesso.
Se non è così, che definizione hai?

[Fioravante Patrone]

sottoscrivo

[prime_number]

No, io come definizione ho la seguente:
X spazio topologico si dice connesso se non è possibile spezzarlo con due aperti disgiunti non vuoti.

Dopo di che negli appunti c'è da dimostrare l'equivalenza di questa definizione con altre 3, e non riuscivo per l'appunto a finirla...Avevo cominciato per assurdo come ha detto Martino, ma poi non so continuare... Altro indiziooo

Paola

[dissonance]

ciao Paola! Potresti provare a dimostrare prima che:

X è unione di aperti disgiunti non vuoti $\iff$ X è unione di chiusi disgiunti non vuoti
Poi con questa equivalenza passi ad osservare un insieme chiuso e aperto non banale. Che succede?

P.S.: non è necessario seguire questa strada però ti potrebbe aiutare a chiarire le idee!

[amel]

Io brutalmente quando ho visto questo post ho pensato
- come prima cosa che il caldo e lo studio insieme giocano davvero brutti scherzi
- come seconda che tutte le possibili unioni di aperti di uno spazio topologico $X$ con aperti solo $X$ e $\emptyset$ sono $X uu X$, $X uu \emptyset$ $\emptyset uu \emptyset$: solo le prime due unioni danno $X$ e in particolare la prima unione non è disgiunta, mentre nella seconda unione uno dei due aperti è il vuoto. Quindi lo spazio è connesso.

Ok basta hai già risolto, scommetto (spero )

[luigi88]

Se per assurdo X non fosse connesso allora esisterebbero due aperti X1 e X2, disgiunti, la cui unione sarebbe X. Ne segue che il complementare di X1 è X2 e viceversa cioè X1 e X2 sarebbero anche chiusi, contro il fatto che gli unici aperti e chiusi sono X e il vuoto.

[ViciousGoblin]

Scusate se non riesco a trattenermi dal ripetere le cose.

Se ci sono due aperti $A_1$ e $A_2$ , non vuoti tali che $A_1\cup A_2=X$ allora $A_1$ e $A_2$ sono
anche chiusi (il complementare di un aperto è un chiuso e $A_2=X-A_1$, $A_1=X-A_2$).
Se c'è un insieme $A\ne X$ $A\ne\emptyset$ aperto e chiuso, allora $A$ e $X-A$ sono due aperti non vuoti
disgiunti la cui unione dà tutto

Dunque le due definizioni sono equivalenti

[adaBTTLS]

credo che l'ultimo intervento di ViciusGoblinEnters sia illuminante, ma temo che se Paola ha manifestato perplessità nell'accettare che il teorema sia "equivalente alla definizione" il dubbio formale resti. provo a rimanere il più legata possibile alla logica formale di base, prendendo spunto dalla definizione di Paola e dall'esempio di Vicius:

ipotesi: gli unici sottospazi di X aperti e chiusi sono X e $phi$
tesi: X è connesso

dimostrazione: supponiamo p.a. che X non sia connesso. allora esistono due insiemi aperti A, B, non vuoti, contenuti in X, tali che la loro intersezione è vuota e la loro unione è X. quindi A è il complementare di B rispetto ad X, e B è il complementare di A rispetto ad X. dunque A e B sono anche chiusi. ma A e B sono diversi sia da X sia dall'insieme vuoto, e sono sia aperti che chiusi. ma questo contraddice l'ipotesi. la contraddizione dipende dall'ipotesi di assurdo. dunque X è connesso. q.e.d.

spero di essere stata chiara. OK? ciao.