Chiarimenti su due nozioni di Geometria

[gugo82]

Riporto testualmente dall'introduzione di Schneider, Convex Bodies...:

By $SO(n)$ we denote the group of proper rotations of $E^n$. With the topology induced by the usual matrix norm it is a compact topological group. The group of proper rigid motions of $E^n$ is denoted by $G_n$ and topologized as usual. Also, the Grassmannian $G(n, k)$ of $k$-dimensional linear subspaces of $E^n$ and the set $A(n, k)$ of $k$-dimensional affine subspaces of $E^n$ are endowed with their standard topologies.

qui $E^n$ è uno spazio euclideo reale (i.e. un $RR$-spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare) avente dimensione $n$.

Visto che non sono un grande esperto di Geometria, vorrei sapere se qualcuno può chiarirmi: 1) come si costruiscono le "topologie usuali" su $SO(n)$ e su $G_n$ (e qual è la "norma usuale" su $SO(n)$) e 2) cos'è il Grassmanniano $G(n,k)$ e come si costruiscono le "topologie usuali" su di esso e su $A(n,k)$.

Ovviamente ogni riferimento bibliografico è bene accetto.

Grazie a chi vorrà rispondere.

[fu^2]

che io sappia la metrica usata su $SO(n)$ è quella data dalla norma della matrice, quindi la topologia usata su SO(n) (e su tutto GL(n)) è quella euclidea in quanto per misurare le distanze tratti le matrici come se fossero punti di $RR^(n^2)$.
La norma usuale cioè la norma della matrici è la $||A||=sqrt(sum_(i,j=1)^na_(ij)^2)$

grassmanniana (definizione tratta da "elementi di geometria analitica" Nacinovich) per gli spazi vettoriali: insieme di tutti i sottospazi vettoriale di dimensione k nello spazio vettoriale V sul campo K.

quindi in $E^n$ la grassmaniana è l'insieme dei sottospazi di dimensione k presumo in quanto un sottospazio di $E^n$ di dimensione k è definito attraverso l'azione del sottospazio vettoriale di dimensione k sull'insieme dei punti $RR^n$.

quindi la topologia "classica" è quella indotta da quella che esiste su $RR^n$ e quindi la topologia quoziente rispetto alla topologia euclidea.

presumo di non aver detto troppe cavolate

sulle matrici e le loro norme trovi qualcosa qui

http://www.matapp.unimib.it/~paoletti/a ... ineare.pdf

al capitolo 7.5