Misura di Hausdorff

[pat87]

Salve.
Non sto a definire la misura (esterna) di Hausdorff, in quanto la potete trovare qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_measure

Vorrei però chiedere un paio di cosette a riguardo che non ho ben capito...dai miei appunti si legge che:

$H^0$ equivale alla "counting measure": http://en.wikipedia.org/wiki/Counting_measure

mentre

$H^1$ su $RR$ è semplicemente la misura di Lebesgue.

$H^1$ potrei ancora capire che è la misura di Lebesgue (in quanto le due definizioni sono molto simili), ma come mai $H^0$ equivale alla counting measure?

Inoltre c'è un teorema che afferma che Se $X = RR^n$, allora $H^n = c_n*L^n$, dove $c_n = 2^n/(alpha_n)$, $alpha_n = L^n(B(0,1))$ e $L^n$ è la misura di Lebesgue.
Come si arriva a questo risultato? Avete per caso qualche dimostrazione in giro online?

Inoltre volevo chiedere una cosa sulla dimensione di Hausdorff di un insieme.
Abbiamo fatto parecchi esempi (senza dimostrazione), alcuni chiari , ad esempio $RR^n$ ha dimensione $n$, $S^1$ ha dimensione 1, gli insiemi numerabili hanno dimensione 0.
Altri esempi sono invece meno chiari. Ad esempio i frattali. In particolare arriva a dire che la dimensione di Hausdorff dell'insieme di Cantor è $ln(2)/(ln(3)$, mentre quella del triangolo di Sierpinski $ln(3)/(ln(2))$.
Come mai?

Grazie!

[gugo82]

Probabilmente la diretta proporzionalità tra la misura di Hausdorff $H^n$ e quella di Lebesgue $L^n$ in $RR^n$ si stabilisce col Teorema di unicità della misura di Lebesgue (il cui enunciato è pressapoco il seguente "Ogni misura positiva $mu$ definita sui borelliani di $RR^n$, internamente ed esternamente regolare e finita sui compatti è multipla di $L^n$, nel senso che esiste $c>0$ tale che $mu(E)=c*L^n(E)$ per ogni borelliano $E$").

Per il resto, io ho avuto questa intuizione: in effetti una misura di Hausdorff d'ordine $k<n$ su $RR^n$ serve per misurare degli "insiemi sottili".
Mi spiego con un paio di esempi: un triangolo $Tsubset RR^3$ ha $L^n(T)=0$, ed invece $H^2(T)>0$ in quanto la misura di Hausdorff restituisce, a meno di fattori di proporzionalità positivi, il solito "base per altezza diviso 2"; d'altra parte un segmento $s subset RR^3$ ha $L^3(s)=0=H^2(s)$, epperò $H^1(s)>0$.
Fissato $n in NN$, allora $H^(n-1)$ potrebbe fornire la misura delle frontiere di insiemi regolari: ad esempio per la palla unitaria $B_n$ si avrebbe $H^(n-1)(B_n)\cong L^(n-1)(S^(n-1))$, ove $\cong$ indica proporzionalità; in quest'ottica $H^0$ fornirebbe la misura della frontiera di $[-1,1] subset RR$, la quale è ${-1,1}$.
Se è tutto grosso modo corretto, non mi sorprenderebbe più di tanto il fatto che $H^0$ equivale alla misura che conta.

Ovviamente il discorso è campato un po' in aria, dato che non ho mai approfondito l'argomento. Aspetto anch'io qualche delucidazione in merito.

[Gaal Dornick]

Che io ricordi bastava solo la regolarità interna, e andava richiesta l'invarianza per traslazioni.

[pat87]

Da quel che ho capito questa misura è una generalizzazione di quella di Lebesgue, in quanto permette di misurare sottoinsiemi che darebbero misura nulla con la misura di Lebesgue (in $RR^n$). Ok grazie .

Non ho capito alcune cose però.
Con internamente (ed esternamente) regolare intendi che, dato $A subset X$ boreliano, $\mu(A) < \infty$, puoi trovare per ogni $\epsilon >0$ un sottoinsieme chiuso $C subset A$ per cui $\mu(A \\ C) < \epsilon$ (ed in modo analogo esternamente con insiemi aperti)?

Poiché io ho un'altra asserzione sui miei appunti, anche se è poco diversa da quella che hai dato te (con $\mu$ indico la misura di Lebesgue , $M$ la sua $\sigma$-algebra, e $A$ l'algebra di insiemi generata dall'unione finita di prodotti di intervalli):
" If $\mu'$ is another measure on $M'$ such that is translation invariant ($\mu'(x+A) = \mu'(A)$) and finite on compact sets such that $A \subset M' \subset M$, then $\exists c >0$ such that $\mu' = c \mu$".

Le due asserzioni coincidono?

Nessuno sa rispondermi invece per i frattali?