da Camillo » 09/02/2005, 12:13
Soluzione del sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite
( 2x+y-2z+3w=1
) 3x+2y-z+2w=4
( 3x+3y+3z-3w=5
La matrice dei coefficienti [2,1,-2,3;3,2,-1,2;3,3,3,-3]( matrice
incompleta) ha caratteristica : 2.
La matrice completa( ottenuta accostando alla matrice incompleta la
colonna dei termini noti )[ 2,1,-2,3,1;3,2,-1,2,4;3,3,3,-3,5] ha
invece caratteristica 3 .
Allora come conseguenza del Teorema di Rouchè Capelli il sistema non
ha soluzioni ( ha soluzioni solo se le due caratteristiche sono
uguali).
Se ad esempio cambio il sistema iniziale in questo :
( 2x+y-2z+3w=1
) 3x+2y-z+2w=4
( 3x+3y+3z-3w=9
allora la caratteristica della matrice incompleta e di quella
completa sono uguali e valgono 2.
Quindi per il teorema di Rouchè Capelli il sistema ha soluzioni.
Per trovare le soluzioni si scelgono 2 delle 3 equazioni, in modo che
la matrice dei coefficienti di queste abbia caratteristica uguale a 2
.
Questo è verificato scegliendo le prime due equazioni .
Il nuovo sistema ha 2 equazioni e 4 incognite ; scelgo 2 incognite in
modo tale che il determinante dei loro coefficienti sia diverso da
zero e alle rimanenti 4-2 = 2 incognite si attribuiscono valori
arbitrari.
Scelgo come incognite : x,y ( il determinante dei loro coefficienti
vale infatti : 2*2-3*1=1 diverso da zero.), mentre attribuisco valori
arbitrari alle altre 2 incognite : z,w.
A questo punto si risolve il nuovo sistema di 2 equazioni in 2
incognite con determinante non nullo , usando la regola di Cramer o
altri metodi( sostituzione etc..) :
( 2x+y = 2z-3w+1
) 3x+2y = z-2w+4
considero w, z come termini noti .
Si ottiene facilmente la soluzione :
x= 3z-4w-2
y= 5w-4x+5
con z,w arbitrari.
Il sistema ha quindi (00)^2 soluzioni [ infinito alla due).
Camillo