Potenza di una matrice

[Ale83]

Salve a tutti, ho incontrato il seguente problema:

(matrici 2x2, righe separate dal ";" )

G = [0.5 0.25 ; 0 0.5]



G^k = [0.5^k k*0.5^(k+1); 0 0.5^k]



dove non riesco a capire da dove abbiano fatto saltar fuori la matrice G^k: mi sta bene che si elevino a potenza gli el. diagonali, ma non mi spiego l'el. g(1,2)
Immagino che con matlab si possa trovare un risultato del genere, definendo k come variabile simbolica: ci ho provato (con syms k) ma vuole k intero e io nn so come definirglielo perchè gli vada bene!
Se poi il metodo analitico è + svelto e qualcuno me lo svela, tanto meglio

Grazie in anticipo, ciao!!

[Valerio Capraro]

non ho capito se il tuo problema è semplicemente di calcolo della potenza di una matrice... basta fare G*G*... k volte. Pensa che si definisce pure e^A essendo A una matrice..

[Ale83]

Certo, è G*G*... k volte, ma a me interesserebbe lasciare gli elementi della matrice risultante come funzioni di k (vedi esempio sopra riportato).
In altre parole, G è data e k è un parametro: NON voglio assegnargli un valore, ma lasciarlo indicato.
Ricordo che l'esponenziale di matrice lo abbiamo usato in Controlli Automatici...
Quello che mi chiedo è:
nel caso particolare del problema postato all'inizio, come hanno fatto a determinare gli el. di G^k ? x via analitica o l'hanno sparato fuori grazie ad un prog. di calcolo simbolico?

[karl]

Secondo me si puo' ragionare per induzione sulla matrice
(piu' generale):
h=[a,a^2;0,a]
Per k=2 la formula indicata e' certamente vera in quanto
e' (prodotto righe per colonne) :
[a,a^2;0,a]*[a,a^2;0,a]=[a^2,2a^3;0,a^2]
Supponiamo ora la formula vera per un k generico e
dimostramola vera anche per k+1.Infatti e':
h^(k+1)=h^k*h=[a^k,ka^(k+1);0,a^k]*[a,a^2;0,a]=
=[a^(k+1),(k+1)a^(k+2);0,a^(k+1)]
che e' quello che si voleva provare.
Ciao.

[Camillo]

Bella dimostrazione , archimede !

Camillo

[Valerio Capraro]

già... l'hanno determinato per induzione.. pare

[karl]

Grazie ,Camillo ( o Enrico?)
Leggo che sei ingegnere ,ma in che cosa esattamente?.
Ciao.

[Camillo]

Il mio nome è Camillo, ingegnere in Elettronica (allora si chiamava così), nel lavoro mi sono sempre occupato di Telecomunicazioni e tu ? studente di Matematica ?
Ciao
Camillo

[karl]

Ho studiato matematica ma ora m'interessso
di tutt'altro.Mi piace comunque coltivare
questa mia passione (per quel che mi riesce!).
Ciao.

[Ale83]

Grazie Camillo!