Insieme in C con dilatazione / rotazione

[Marvin]

In un esercizio ho la seguente informazione
A=[ Z appartiene a C : z + Z coniugato = Z*Zconiugato]
se pongo la sostituzione solita (x + iy) trovo che l'insieme
è rappresentabile come una circonferenza di eq
x^2+y^2-2x=0
e fin qui tutto ok
dopo l'esercizio mi dice che lo stesso insieme può essere scritto come:
A=[ z appartiene a C : |Z-1| = 1]

1) come mai?

poi mi da un'altro insieme

B=[ w appartiene a C : (1+i)*Z con Z appartenente a A]

Z è da quello che ho capito un elemento dell'insieme A sopracitato

il libro dice che questa operazione corrisponde ad un dilatazione
pari al raggio vettore(modulo) di (1+i) cioè sqrt(2) ==> che se non sbaglio
poi MOLTIPLICA per il raggio della circonf di A

e una rotazione pari a pi/4 che SOMMA all' argomento delle circonf di A
(essendo una circonferenza la rotazione lascia invariata la figura)

fin qui tutto sommato è comprensibile..

ma poi mi dice che il centro della nuova circonf (insieme B) e (1+i)

2) ...in base a che criterio lo stabilisce?!

Marvin

[karl]

Io la vedo cosi':

1)|Z-1|=1--->|(x-1)+iy|=1--->sqrt[(x-1)^2+y^2]=1--->(x-1)^2+y^2=1
che e' proprio l'equazione della circonferenza x^2+y^2-2x=0

2) Il centro della circonferenza di cui sopra e' il punto
(1,0) ovvero,nel piano complesso il punto Z=1 e quindi ,per effetto
della dilatazione ,esso si porta nel punto Z=(1+i)*1=1+i che
nell'ordinario piano cartesiano e' il punto (1,1) [dilatato del punto
(1,0) di sqrt(2) e ruotato di Pi/4].
Archimede.

[Marvin]

per quanto riguarda (1) anche io avevo capito il senso di come passa da |Z-1| = 1
all'equazione della circonferenza

è solo che non capisco come dall'equazione della circonferenza passi alla forma |Z-1| = 1

[Luca.Lussardi]

La formula |Z-1|=1 sta dicendo che i numeri Z hanno distanza costante uguale a 1 dal punto (1,0) (poiche' quell'1 tra moduli, numero reale, sottintende il numero complesso 1+0i). Quindi viene una circonferenza centrata in (1,0) e di raggio 1. Di questo uno se ne rende conto sviluppando i conti, ponendo z=x+iy.

Viceversa la circonferenza centrata in (1,0) e con raggio 1 e' l'insieme dei punti (x,y) tali che d((x,y),(1,0))=1. Ma se z e' complesso rappresentato da (x,y) (ovvero z=x+iy) allora sta scritto |z-1|=1.

[Marvin]

La formula |Z-1|=1 sta dicendo che i numeri Z hanno distanza costante uguale a 1 dal punto (1,0) (poiche' quell'1 tra moduli, numero reale, sottintende il numero complesso 1+0i). Quindi viene una circonferenza centrata in (1,0) e di raggio 1. Di questo uno se ne rende conto sviluppando i conti, ponendo z=x+iy.

ok adesso è molto più chiaro..ad ogni modo però non capisco l'artificio matematico che usa per portarsi in quella formula..logicamente se sostituisco la solita x+iy mi viene l'equazione della circonferenza che almeno formalmente è abbastanza lontana dalla forma |Z-1|=1
c'è un algoritmo oppure è uno sviluppo che si fa "ad occhio"?

cmq potenti questi numeri complessi..li trovo affascinanti
peccato non saperli gestire bene...

[signor.nessuno]

[signor.nessuno]

[signor.nessuno]

[Marvin]

Ammesso che la condizione che hai scritto tu fosse VERA non capisco la restrizione Z != 0 (intendi Z diverso da zero,giusto?)
in questo caso la Z dell'equazione è generico..non corrisponde a un numero complesso.

però il procedimento ha senso..l'uguaglianza da te scritta cmq non l'ho mai incontrata prima

l'unica che conosco (che però in questo caso non credo mi sia utile) è Z*Zcon = |Z|^2

Marvin