applicazioni lineari

[Pivot]

Come si risolve?

è data l'applicazione linerare f:R^4-->R^3, la cui matrice, rispetto alle basi canoniche, è:

1 0 1 1
2 1 1 3 = A
1 1 0 2

Calcolare una base del Kerf ed una dell' Imf.

Come si procede?
Potreste spiegarmi in modo conciso i passaggi?

Grazie anticipate.

[Camillo]

Essendo A la matrice rappresentativa della trasformazione $ f : R^4 rarr R^3 $ questo vuol dire che il generico vettore v di $R^4$ viene trasformato nel vettore w di $R^3$ in questo modo :

$ v= (x,y,z,t) ; w = (x+z+t, 2x+y+z+3t, x+y+2t )$


Ker f : è costituito dai vettori di $R^4$ che vengono trasformati nel vettore nullo di $R^3$.
Per trovarli basta risolvere il sistema :

$x+z+t = 0$
$2x +y +z+ 3t = 0$
$x +y +2t = 0 $
Rango della matrice dei coefficienti : 2

soluzioni : $00^2$
variabili libere : $ y, t $
soluzioni del sistema : $ x= -y-2t; z = y+t $

Quindi DIM ker f = 2 ( 2 variabili libere )

Ker f è formato da tutti e soli i vettori del tipo : $ ( -y-2t, y, y+t, t)$.
Per trovare una base ( formata da due vettori lin. indip. ovviamente ) pongo
y=1 ; t=0

e poi
y=0, t=1 e si ottiene la base :

$(-1,1,1,0) ; (-2,0,1,1)$


Im f .
Poichè dim ker f = 2 , dal teorema delle dimensioni si ottiene che dim Im f = 4-2 = 2.
Quindi dei 4 vettori che formano le colonne di A se ne possono trovare solo 2 lin. indip.

Ad es. lo sono : $(0,1,1) ; (1,1,0) $ che pertanto sono una base di Im f.

Camillo

P.S. speriamo bene per i conti !!!

[Marvin]

poi per quanto riguarda la base di Im f
sul mio libro vi è la seguente osservazione:
se V1,V2,...,Vm sono una famiglia di generatori di V
allora i vettori f(V1) , f(V2),....f(Vm)
sono una famiglia di generatori di Im f

quindi i generatori di Im f possono essere estratti direttamente
dalla matrice A di partenza,sempre tenendo conto che ha rango 2
posso scegliere arbitrariamene 2 righe(colonne) l.i
in modo da poter esperimere ogni vettore di Im f come
combinazione lineare di due vettori l.i.


correggetemi se sbaglio dato che sto preparando anche io questo argomento per analisi di lunedì prossimo...

Marvin

[Marvin]

sotto attenta osservazione di Camillo correggo:
bisogna invertire l'ordine del prodotto,nel senso prima A poi il vector colonna x,y,z,t

e i vettori base di Im f hanno tre elementi invece che 4 dato che la dimensione di arrivo è R^3

l'importante è che cmq scelgo i vettori devono essere l.i

[Camillo]

... volevi dire che la dimensione di arrivo è 3 .

Camillo

[Pivot]

ok grazie camillo solo una cosa non ho ben capito.

Per quanto riguarda la base dell'immagine tu hai detto che:

"dei 4 vettori che formano le colonne di A se ne possono trovare solo 2 lin. indip. "

ma in generale i vettori colonna linearmente indipendenti della matrice di partnza formano una base dell'immagine?
Com è che funziona?

[Camillo]

I vettori colonna della matrice A sono senz'altro dei generatori del sottospazio Im f ; però in generale non saranno linearmente indipendenti e quindi non formeranno una base,
Nel caso specifico dal teorema della dimensione ( che dice : dim spazio di partenza,cioè dim $R^4 $ =4= dim Ker +dim Im ) si ottiene la dimensione del sottospazio Im f = 4-2 = 2 .
L'esercizio vuole che si trovi una base di Im : necessariamente nella matrice A si potranno trovare 2 colonne lin. indip e non di più: infatti ad es. la I colonna = somma di II +III e la IV colonna = somma di I +II .
Ulteriore conferma è che il rango della matrice A vale : 2.

La scelta come base di : (0,1,1) ;(1,1,0) è corretta in quanto sono vettori lin. indip.

Camillo

[Pivot]

Quindi è corretto dire che i vettori colonna linermente indipendenti di una data matrice mi danno una base dell'immagine?

[Camillo]

Sì ,se la matrice è la matrice rappresentativa di una trasformazione, allora tutti i vettori colonna linearmente indipendenti della matrice, sono una base di Im f.

Camillo