Restrizione di un'applicazione lineare

[Titania]

Ciao a tutti.
Ho un problema con un esercizio (in realtà il problema è più che altro concettuale).

Sia \( \displaystyle f = L_A : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4 \) , ove \( \displaystyle A = \begin{pmatrix}1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 6 & 0 \\ 1 & -2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \)

Sia \( \displaystyle U_h = \text{span}\{e_1, e_2 + he_4\} \) (gli \( \displaystyle e_i \) sono i vettori della base canonica di \( \displaystyle \mathbb{R}^4 \) )

Si chiede di stabilire per quali valori di \( \displaystyle h \) la restrizione di \( \displaystyle f \) a \( \displaystyle U_h \) , \( \displaystyle f_h : U_h \rightarrow \mathbb{R}^4 \) è iniettiva.

Per l'iniettività tutto ok.
Il mio problema è che non riesco a capire come è fatta la funzione. Nel senso, ho capito cosa succede a livello teorico, ma in pratica?
Penso di dover trovare la matrice associata a quell'applicazione, ma come la trovo?

Grazie a chi avrà voglia di rispondere!

[Alxxx28]

Penso di dover trovare la matrice associata a quell'applicazione, ma come la trovo?

Si esatto devi ricavare prima la matrice associata all' applicazione \( \displaystyle f_h : U_h \rightarrow \mathbb{R}^4 \)
\( \displaystyle U_h \) è generato da due vettori linearmente indipendenti, quindi la sua dimensione è 2.
Basta ricordare la definizione di matrice associata, non hai idea su come procedere?

[Titania]

Prima di tutto grazie per la risposta

Comunque un'idea l'avrei, non sono sicura sia corretta!
Farei così:

ho una base di \( \displaystyle U_h \) e una di \( \displaystyle \mathbb{R}^4 \) (quella canonica).

Vogliamo trovare la matrice \( \displaystyle H \) associata all'applicazione.
Per definizione \( \displaystyle H \) ha per colonne le coordinate rispetto alla base di arrivo dei trasformati dei vettori della base di partenza.
Sarà quindi una matrice \( \displaystyle 4\times2 \)

Calcoliamo i trasformati dei vettori: \( \displaystyle f_h\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$ \) e \( \displaystyle f_h\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ h \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}h - 2 \\ -4 \\ h - 2 \\ 2\end{pmatrix} \)

La matrice associata a quell'applicazione lineare è quindi: \( \displaystyle H = \begin{pmatrix} 1 & h - 2 \\ 2 & -4 \\ 1 & h - 2 \\ -1 & 2\end{pmatrix} \)

Può avere senso?

[Alxxx28]

Si corretto, ora puoi proseguire

base di arrivo

non sono sicuro di questo, però mi sa che è più corretto dire "base dello spazio d' arrivo(partenza)"

[Titania]

Grazie!

mi sa che è più corretto dire "base dello spazio d' arrivo(partenza)"

La matrice associata rappresenta l'applicazione rispetto a una base di partenza e a una di arrivo, quindi non credo sia sbagliato!
In ogni caso non credo sia particolarmente importante
Ciao!

[Alxxx28]

Di niente forse non mi ero spiegato bene.
Il concetto si capisce, non intendevo che è sbagliata la definizione.
Mi riferivo solo a quel tratto che ho citato, ma come dicevo prima, non ne sono sicuro.

[sottostee]

Ciao a tutti,
dopo aver trovato la matrice associata come stabilisco se la funzione è iniettiva?

Grazie anticipatamente per la risposta

[regim]

Devi ricordare che una applicazione lineare $L$ è iniettiva se il $ker(L)=0,$ cioè se il nucleo contiene solo il vettore nullo, poi applichi il teorema del rango che in questo caso ti dà $r(F_H)=2,$(con $F_H$ indico l'applicazione lineare associata ad $H$) cioè il rango di $F_H$ pari a 2 dato che vogliamo $ker(F_H)=0,$ e ti viene che dev'essere $h\ne 0$.