A proposito di ettagono regolare

[karl]

Dopo il quesito sull'ettagono regolare vi inviterei a risolvere il seguente:
Dimostrare che e' esattamente:
$cos^3((2pi)/7)+cos^3((4pi)/7)+cos^3((8pi)/7)=-(1)/2$
Esattamente significa senza ricorrere alla calcolatrice (o software matematici)
e con una qualche giustificazione.
Archimede

[Nidhogg]

Utilizzando la formula di triplicazione $cos(3*alfa)=4*cos^3(alfa)-3*cos(alfa)$, si ottiene:

$(3*cos(2*pi/7) + cos(6*pi/7))/4 + (cos(12*pi/7) + 3*cos(4*pi/7))/4 + (cos(24*pi/7) + 3*cos(8*pi/7))/4=-1/2$

(1)Essendo $cos(n*pi)=sin((1/2-n)*pi))$, si ha:

$(3*sin(3*pi/14) + cos(6*pi/7))/4 + (cos(12*pi/7) + 3*cos(4*pi/7))/4 + (cos(24*pi/7) + 3*cos(8*pi/7))/4 = - 1/2$

(2)Essendo $cos(n*pi)=-sin((n-1/2)*pi))$, si ha:

$3*sin(3*pi/14)/4 - sin(5*pi/14)/4 + (cos(12*pi/7) + 3*cos(4*pi/7))/4 + (cos(24*pi/7) + 3*cos(8*pi/7))/4 = - 1/2$

(3)Essendo $sin(n*pi)=cos((1/2-n)*pi)$, si ha:

$3*sin(3*pi/14)/4 - cos(pi/7)/4 + (cos(12*pi/7) + 3*cos(4*pi/7))/4 + (cos(24*pi/7) + 3*cos(8*pi/7))/4 = - 1/2$

(4)Essendo $cos(n*pi)=-cos((n-1)*pi)$, si ha:

$3*sin(3*pi/14)/4 - cos(pi/7)/4 + (-cos(5*pi/7) + 3*cos(4*pi/7))/4 + (cos(24*pi/7) + 3*cos(8*pi/7))/4 = - 1/2$

Per la (2), si ha:

$3*sin(3*pi/14)/4 - cos(pi/7)/4 + (sin(3*pi/14) + 3*cos(4*pi/7))/4 + (cos(24*pi/7) + 3*cos(8*pi/7))/4 = - 1/2$

Sempre per la (2), si ha:

$3*sin(3*pi/14)/4 - cos(pi/7)/4 + sin(3*pi/14)/4 - 3*sin(pi/14)/4 + (cos(24*pi/7) + 3*cos(8*pi/7))/4 = - 1/2$

(5)Essendo $cos(n*pi)=cos(mod(n, 2)*pi)$, si ha:

$sin(3*pi/14) - cos(pi/7)/4 + (cos(10*pi/7) + 3*cos(8*pi/7))/4 - 3*sin(pi/14)/4 = - 1/2$

Per la (4), si ha:

$sin(3*pi/14) - cos(pi/7)/4 + (- cos(3*pi/7) + 3*cos(8*pi/7))/4 - 3*sin(pi/14)/4 = - 1/2$

Per la (1), si ha:

$sin(3*pi/14) - cos(pi/7)/4 + (- sin(pi/14) + 3*cos(8*pi/7))/4 - 3*sin(pu/14)/4 = - 1/2$

Per la (4), si ha:

$sin(3*pi/14) - cos(pi/7)/4 - sin(pi/14)/4 - 3*cos(pi/7)/4 - 3*sin(pi/14)/4 = - 1/2$

Essendo $sin(3*pi/14)-sin(pi/14)=cos(pi/7)-1/2$, si ha:

$- cos(pi/7) + cos(pi/7) - 1/2 = - 1/2$

Infine si ha: $-1/2=-1/2$.

L'uguaglianza è verificata.

[karl]

Buona soluzione quella di Leonardo che come sempre denota grande
sicurezza nei calcoli.
Una soluzione piu' legata all'ettagono regolare (come lasciava intendere il titolo
del post) usa proprio l'equazione $z^7-1=0$ che liberata della radice
z=1 porta a $z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$.Le radici di tale
equazione sono legate dalle relazioni (facili da verificare)
(1) $z_i+z_(( 7-i))=z_i+1/z_i=2cos((2pii)/7)$ con i=1,2,4
Dividiamo ora la precedente equazione per $z^3$ :
$(z^3+1/(z^3))+(z^2+1/(z^2))+(1+1/z)+1=0$ e ponendo
$z+1/z=y$ (da cui $z^3+1/(z^3)=y^3-3y,z^2+1/(z^2)=y^2-2$) risulta:
$y^3+y^2-2y-1=0$
Le radici a,b,c di tale equazione sono proprio le (1) ed inoltre :
a+b+c=-1,ab+bc+ca=-2,abc=1
Ora si ha:
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(ab+bc+ca)(a+b+c)+3abc=-4$
Ovvero:
$8cos^3((2pi)/7)+8cos^3((4pi)/7)+8cos^3((8pi)/7)=-4$
da cui appunto la relazione.
Archimede

[Nidhogg]

Ti ringrazio archimede! Comunque adottare la soluzione più facile (anche se più lunga!) è stato il mio obiettivo! Ovviamente, come tu hai illustrato, si poteva utilizzare l'equazione $z^7-1=0$, rendendo la soluzione più corta, ma anche più difficile (almeno per me!)

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Ciao!