Come argomento a piacere ho scelto il Lemma Di Steinitz:
Sia V(K) un uno spazio vettoriale finitamente generato, sia B=[$v_1$,$v_2$,.....,$v_n$] un sistema di generatori di V e sia A[$u_1$,$u_2$,....,$u_m$] un sistema libero di vettori di V. Allora m$<=$n.
E fin qui tutto a posto...
Allora ho iniziato a dimostrarlo:
supposto per assurdo m$>$n
Dato che B è un sistema di generatori per V allora il vettore $u_1$ dipende linearmente da B e quindi:
$u_1=h_1*v_1+h_2*v_2+........+h_n*v_n$
Sicuramente non possono essere tutti nulli i coefficienti h, altrimenti sarebbe $u_1$=vettor nullo e quindi contro l'ipotesi che A sia libero.
Non è restrittivo supporre che $v_1=((h_1)^-1)(u_1+h_2*v_2+h_3*v_3+.....+h_n*v_n)$
Pertanto anche il sistema $B_1=[u_1,v_2,....,v_n]$ è un sistema di generatori di V(K).
E proprio da quest'ultima affermazione è nato il problema, perchè la professoressa mi ha chiesto di dimostrarle che $B_1$ è un sistema di generatori per V(K).
Qualcuno cortesemente saprebbe dimostrarlo???
