I miei problemi d'esame

[prime_number]

Ciao! Oggi ho fatto l'esame.. Non ho idea di come possa essere andato, ma spero bene...!!

Se vi volete dilettare, vi posto un paio di problemi che ci hanno dato oggi:

1. Nello spazio R[x] sono assegnati i sottospazi:

S=<x+3, x-x^2, 2x+2, -1+x^3 > T=<2x^2 -x -1, x+1, x^2 >

Determinare una base di S, T, S+T, S intersecato T.

2. Nello spazio in cui è fissato un riferimento cartesiano, sono assegnati il punto T (-1,-1,-1), la retta t: y= -x, z=2x-3 ed il piano alfa: x+y+z+3=0

a) Scrivere un sistema di equazioni della retta t' , che passa per T, appartiene ad alfa ed è ortogonale a t.
b) Scrivere un'equazione delle sfere che sono tangenti alla retta t e al piano alfa in T.


Infine un piccolo dubbio mio: ho dovuto risolvere un sistema omogeneo. Veniva indeterminato, quindi lo spazio delle soluzioni era

S={(a,b,c,d) appartenenti a R^4 / a=3d, b= -5d, c=d}

Una base di questo spazio è (3, -5, 1, 1) ?

Mi piacerebbe leggere le vostre soluzioni... almeno del problema 1... E incrociate le dita per meeee!



Paola

[alfio]

scusa senti io ho un integrale da fare mi aiuti a farlo !!

int log(x-sqrtx) / sqrtx(sqrtx-1)^2

Mi aiuti? io ho sostituito t=x^2 ma poi non so andare avanti

grazie
rispondi presto
ps.io sn alfio piacere

[prime_number]

La prossima volta fai un topic a parte!

Io sostituirei
t = $sqrtx$

Poi differenzi

dt = 1/2$sqrtx$ dx => dx=2tdt

Sostituisci e ti viene qualcosa di più facile.. Si semplificano anche dei termini. Poi applichi il procedimento per parti (per eliminare il logaritmo) e poi il metodo dei fratti semplici!

Prima provaci e se non ti riesce posto i calcoli...

Ciao!

Paola

[karl]

1)Sperando di non sbagliare troppo credo che un modo relativamente rapido di risolvere
l'esercizio sia quello delle matrici dei coefficienti dei polinomi di K[x] .
Per S la matrice relativa e' :
$A=[(0,0,1,3),(0,-1,1,0),(0,0,2,2),(1,0,0,-1)]$
Ora rank(A)=4 e cio' significa che la quaterna $(x+3,x-x^2,2x+2,x^3-1)$ e' una base di S
Per T la matrice relativa e' :
$B=[(2,-1,-1),(0,1,1),(1,0,0)]$
Il cui rango e' 2 .Pertanto una base di T e' la coppia $(2x^2-x-1,x+1)$ in quanto il terzo vettore e' una combinazione lineare dei primi due.
Consideriamo ora la matrice complessiva C:
$C=[(0,0,1,3),(0,-1,1,0),(0,0,2,2),(1,0,0,-1),(0,2,-1,-1),(0,0,1,1),(0,1,0,0)]$
Ovviamente e' rank(C)=4 e dunque, poiche' si e' gia' visto che la quaterna di S e' una base,si conclude che T e' strettamente incluso in S e pertanto:
base(S+T)=base(S) , base(S $nn$ T)=base(T)
Archimede

[prime_number]

Grazie mille per aver postato tutto il procedimento!

Riguardo alla base dello spazio delle soluzioni sai dirmi qualcosa?

Paola

[karl]

@PrimeNumber
E' esatto quello che hai scritto.
Per l'esercizio n°1 tengo a precisare che naturalmente quello che ho scelto io
e' solo uno dei possibili procedimenti.
Archimede

[alfio]

scusa se me li scrivi i calcoli è meglio poichè quando faccio l'integrale per parti h difficoltà ad eliminare il logaritmo!!
grazie

e scusa ancora


ALFIO

[prime_number]

Non ti preoccupare!! Spero di non aver fatto errori!

Paola