Il sistema è il seguente:
$ G(s)=1/(s(s+1)) $
Devo trovare i valori di K e K2 per i quali il sistema ha un tasso di smorzamento (nelle mie slide indicato come "damping ratio") di 0.5. Inoltre il sistema ha una frequenza naturale prima dell'aggiunta di K2 (cioè quando K2 = 0) di 10rad/s.
Ho provato con i seguenti passaggi. Indico con $ zeta $ il tasso di smorzamento e con $ omega _n $ la frequenza naturale.
Innanzitutto ho calcolato la funzione di trasferimento tra l'ingresso e l'uscita. Ho trovato, e di questo sono abbastanza sicuro sia giusto:
$ C/R = K/(s^2+(1+K_2)s+K $
Quindi l'equazione caratteristica è:
$ s^2+(1+K_2)s+K = 0 $
Prima che venga aggiunto K2 l'equazione caratteristica è (ponendo K2=0):
$ s^2+s+K = 0 $
Da quello che so, l'equazione generale dell'equazione caratteristica è:
$ s^2+2zeta omega _n+omega _n^2=0 $
Quindi confrontandola con quella che ho trovato io (per K2=0) ho:
$ zeta omega _n=1/2 $ e $ omega _n^2=K $
Il problema è che se nella prima equazione vado a sostituire $ zeta=0.5 $ e $ omega _n=10 $ allora l'equazione non è verificata. Quindi mi viene da dire che sto sbagliando procedimento.