[Campi Elettromagnetici] Impedenza caratteristica

[Alice8]

Ciao a tutti, devo svolgere il seguente esercizio e sto trovando difficoltà a proseguire nei calcoli.

Una linea di trasmissione ha come coefficienti primari:
\( \displaystyle R = 23 \Omega/km, L=125 \mu H/km, C=48nF/km \)
Calcola l’impedenza caratteristica, Z0, della linea per una frequenza pari a 100 Hz

La formula da applicare è questa, con G che viene omessa perché pari a 0 (confermato dal docente)

\( \displaystyle Z0=\sqrt\frac{{R+jwL}}{{jwC}} \)

Ho convertito i vari parametri:

\( \displaystyle R=0,023 *\Omega/m \)
\( \displaystyle L=1.25 * 10 ^{-7} H/m \)
\( \displaystyle C=4.8* 10 ^{-11}F/m \)

\( \displaystyle \omega = 2*\pi*100 = 200 \pi rad/s \)

\( \displaystyle Z0=\sqrt\frac{{0,023+j(200 \pi * 1.25 * 10 ^{-7})}}{{j*200 \pi *4.8 * 10 ^{-11} }} \)

che posso anche scrivere come

\( \displaystyle Z0=\sqrt\frac{{0,023+j(2.5 \pi * 10 ^{-5})}}{{j*9.6 \pi * 10 ^{-9} }} \)

da qui ho provato a fare varie semplificazioni ma mi risulta sempre tutto molto ostico e considerando che questo esercizio è da ripetere con vari valori di frequenza mi sembra strano che il professore abbia dato calcoli così assurdi.
Chiedo a voi una mano (e anche un check su se le conversioni siano state fatte correttamente).

[RenzoDF]

Scusa, ma perché tieni separate le radici a numeratore e denominatore?

[Alice8]

Scusa, ma perché tieni separate le radici a numeratore e denominatore?

ho corretto

[Obidream]

Le conversioni sono giuste, di base i conti sono un po' tediosi perché devi passare in forma esponenziale per le radici, forse dovendo fare calcoli diversi semplificherei prima l'argomento della radice:


$(R+j\omegaL)/(j\omegaC)=(R+j\omegaL)/(j\omegaC)*(j\omegaC)/(j\omegaC)=-(Rj+\omegaL)/(\omegaC)=L/C-(Rj)/(\omegaC)$

L'idea è questa, ora non so se tutti i passaggi sono corretti:

A questo punto metti quel numero in forma esponenziale $z=re^(i\theta)$:

$r=sqrt((L/C)^2+(R/(\omegaC))^2)$

$\theta =- arctan(R/(\omegaL))$

Mo' devi calcolare $z_0 = sqrt(re^(i\theta))$ dove $r$ e $\theta$ sono quelle definite sopra:

$z_0=sqrt(r)*(cos(\theta/2)+isin(\theta/2))$

E dovresti aver finito.


Valuterei l'acquisto di una calcolatrice, ce ne sono diverse che fanno questo tipo di conti, con una 20ina di euro risolvi brillantemente il problema, tra l'altro se risolve anche i sistemi lineari torna utile in elettronica

[RenzoDF]

Se non vogliamo scomodare le funzioni trigonometriche,

\( \displaystyle x+jy= \sqrt{z}=\sqrt{a+jb} \)

\( \displaystyle x=\sqrt{\frac{|z|+a}{2}} \)

e ovviamente

\( \displaystyle y=\frac{b}{2x} \)

Anche se, per essere rigorosi, nella relazione per x, davanti alla radice, ci andrebbe un \( \displaystyle \pm \) .