Potenziale sul bordo di un disco

[L4dy222]

Buongiorno,
mi sono imbattuta in questo problema e non sono molto sicura di come risolverlo:

E dato un sottile disco di raggio r0 = 0.121 m sul quale `e presente una densità superficiale uniforme di
carica elettrica σ = 1.44 nC/m2. Determinare il potenziale elettrico, in volt, sul bordo del disco.

ringrazio in anticipo chiunque sia in grado di fornirmi una soluzione

[ingres]

Ciao L4dy222, benvenuta nel Forum

Cosa hai già provato come tentativo di soluzione?
Il testo ti fornisce una soluzione?

[RenzoDF]

Nell'attesa di una tua risposta alle domande di ingres, il mio consiglio è quello di sommare i contributi elementari relativi alle superfici infinitesime del disco associate agli archi individuati dall'intersezione con una generica circonferenza di raggio $0<r<2r_0$, centro sul bordo e spessore dr.

[RenzoDF]

Visto che forse non sono stato abbastanza chiaro, ti posto la geometria per la soluzione proposta



lasciando a te i dettagli analitici del calcolo.

[L4dy222]

Ciao L4dy222, benvenuta nel Forum

Cosa hai già provato come tentativo di soluzione?
Il testo ti fornisce una soluzione?

Ciao, graziee
Inizialmente io avevo pensato di provare a trattarlo come il potenziale sul bordo di un cilindro di spessore infinitesimo, ma sono poi rimasta bloccata nell'espressione di quest'ultimo.
Il testo mi fornisce solo 6 possibili risposte numeriche, ma niente per quanto riguarda le formule necessarie per arrivarci
su questo forum ho trovato in precedenza un esercizio vagamente simile ma la soluzione fornita mi è sembrata troppo complessa considerato il livello degli altri esercizi presenti sul testo da cui ho tratto questo

ecco il link cui avevano fatto riferimento in quel post di cui parlavo : http://www.mare.ee/indrek/ephi/efield_r ... charge.pdf

[L4dy222]

Visto che forse non sono stato abbastanza chiaro, ti posto la geometria per la solzione proposta


lasciando a te i dettagli analitici del calcolo.

grazie per la risposta!
Questi sono i calcoli che ho provato a fare seguendo questo ragionamento ma non mi torna (nel senso che il risultato non coincide con nessuno di quelli proposti sul testo) quindi penso di aver sbagliato qualcosa
dS=$\int_0^(2r_0) int_0^(theta_0) r dr d theta$
dV=k $\(dq)/r$ =k $\sigma (ds)/r$
V=k $\sigma$ $\int_0^(2r_0) (ds)/r$ = $\sigma r/(8epsilon)$
$\theta_0$=$\pi/4$
k= $\1/(4 pi epsilon)$

è la prima volta che scrivo formule quindi mi scuso per eventuali errori

[ingres]

@Renzo: soluzione bella ed elegante !!

A questo punto facciamo 31 e metto qui il risultato finale (spero di non aver sbagliato qualche calcolo)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se la densità superficiale è applicata solo ad una faccia del disco (qui il testo non è chiaro) risulta

$V = (r_0*sigma)/(pi*epsilon_0)$

altrimenti il doppio.

[RenzoDF]

@ ingres: Come sempre, non sbagli nulla

Ora speriamo che L4dy222, provi a postare la soluzione.

[L4dy222]

@Renzo: soluzione bella ed elegante !!

A questo punto facciamo 31 e metto qui il risultato finale (spero di non aver sbagliato qualche calcolo)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se la densità superficiale è applicata solo ad una faccia del disco (qui il testo non è chiaro) risulta

$V = (r_0*sigma)/(pi*epsilon_0)$

altrimenti il doppio.

con questa formula il risultato torna uguale a una delle soluzioni numeriche proposte!!
Per caso mi sapresti indicare cosa ho sbagliato nella mia risoluzione? devo ammettere che forse non ho capito bene il suggerimento di @Renzo

[ingres]

L'angolo non è fisso ma varia con r. Risulta in particolare

$theta = arcos(r/(2*r_0))$

Quindi $dq = 2*r*theta*sigma*dr$ nel caso di una sola faccia carica e l'integrale diventa

$V = int_0^(2r_0) 1/(4*pi*epsilon_0) (dq)/r = sigma/(2*pi*epsilon_0)*int_0^(2r_0) arcos(r/(2*r_0)) dr$

che integrato fornisce il risultato cercato.