ancora teoria dei segnali

Messaggioda monkybonky » 06/09/2006, 07:34

ragazzi ho ancora bisogno del vostro aiuto, mi dareste una mano con questi esercizi?

(1) segnale PAM

$ x(t) = sum a(n)p(t-nT)

con a(n) di tipo Bernulliano, p=0,25 e 1=0,75

$ p(t) = A pi(2 (4t-T)/(4T))

calcolare ampriezza della riga spettrale e frequenza $ 1/T


(2) Dato il filtro:
$ y(n) = 0,5 Y(n-1) + x (n)

definire:
$Y(v)
$y_(dc)

quando l'ingresso è:

$x(n) = 1 + (-1)^n


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Messaggioda lupo grigio » 06/09/2006, 09:15

Soluzione del secondo esercizio: scrivendo la relazione ingresso-uscita del filtro in termini di z-trasformata abbiamo…

$y(z)= x(z)+1/2*z^(-1) y(z)$ (1)

… per cui la f.d.t del filtro è…

$(y(z))/(x(z))= 1/(1-1/2*z^-1)$ (2)

… e la sua risposta impulsiva…

$h(z)= sum_(n=0)^(+oo) 1/(2^n)*z^(-n)$ (3)

Nel nostro caso l’ingresso è...

$x(z)= 1+sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n*z^(-n)= 1 + x_p(z)$ (4)

... ossia la somma di un impulso unitario e di una sequenza periodica $x_p$. Di conseguenza l’uscita del filtro [un filtro ricorsivo…] sarà la somma della (3) e della (3) convoluta con la $x_p$. Con semplici calcoli si arriva a trovare…

$y(z)= h(z)+ h(z)*x_p(z)=$

$= sum_(n=0)^(+oo) 1/(2^n)*z^(-n)+$

$+ sum_(n=0)^(+oo) sum_(k=0)^n (-1)^k/(2^(n-k))*z^(-n)$ (5)

cordiali saluti

lupo grigio


Immagine

An old wolf may lose his teeth, but never his nature
lupo grigio
 

Messaggioda luca.barletta » 06/09/2006, 17:30

Per il primo quesito, sicuro che non chieda la componente a $1/T$ di $E[x(t)]$?
Con $1=0,75$ intendevi $1-p=0,75$?
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Messaggioda monkybonky » 07/09/2006, 00:08

grazie lupo grigio, sopratutto per la spiegazione.
2 + 2 = 5 per valori molto grandi di 2
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Messaggioda monkybonky » 07/09/2006, 00:11

luca.barletta ha scritto:Per il primo quesito, sicuro che non chieda la componente a $1/T$ di $E[x(t)]$?
Con $1=0,75$ intendevi $1-p=0,75$?


mi sa che bisogna calcolare l'ampiezza della riga spettrale quando la frequenza è pari a 1/T. (purtroppo non ho una traccia completa di questo esercizio)

si ho sbagliato a digitare, intendevo scrivere la probabilità nulla q. :oops:
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Messaggioda luca.barletta » 07/09/2006, 08:07

Poiché non è possibile sviluppare in serie di Fourier una quantità aleatoria, procedo con lo sviluppo del valore atteso:

$E[x(t)] = ... = 0,25 sum_k p(t-kT)$

Questa forma d'onda è periodica di periodo T, pertanto per avere la componente a 1/T basta calcolare il primo termine dello sviluppo di fourier, $P(f)|_(f=1/T)$. Dato che $p(t)$ è nota, è sufficiente calcolare ora la sua trasformata e valutarla per $f=1/T$.
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Re: ancora teoria dei segnali

Messaggioda nicola de rosa » 07/09/2006, 08:26

monkybonky ha scritto:ragazzi ho ancora bisogno del vostro aiuto, mi dareste una mano con questi esercizi?

(1) segnale PAM

$ x(t) = sum a(n)p(t-nT)

con a(n) di tipo Bernulliano, p=0,25 e 1=0,75

$ p(t) = A pi(2 (4t-T)/(4T))

calcolare ampriezza della riga spettrale e frequenza $ 1/T


(2) Dato il filtro:
$ y(n) = 0,5 Y(n-1) + x (n)

definire:
$Y(v)
$y_(dc)

quando l'ingresso è:

$x(n) = 1 + (-1)^n


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1)
Lo spettro (o PSD equivalentemente) di un segnale PAM è dato dalla formula:

spettro=$Var[a(n)]*(|P(f)|^2)/T +((E[a(n)])/T)^2*sum_k(|P(k/T)|^2)*delta(f-k/T)$ (dove $P(f)$ è la trasformata di Fourier di $p(t)$, $Var[a(n)]$ è la varianza della variabile aleatoria $a(n)$ ed $E[a(n)]$ è la media.
In particolare il contributo $((E[a(n)])/T)^2*sum_k(|P(k/T)|^2)*delta(f-k/T)$ ti dice se ci sono righe spettrali e la loro ampiezza. In particolare non ci sono righe spettrali se $E[a(n)]=0$.
Nel nostro caso, invece, $E[a(n)]=0.25$, $E[a(n)^2]=0.25$ per cui $Var[a(n)]=E[a(n)^2]-E[a(n)]^2=3/16$
Per cui l'ampiezza della prima riga è:
$((E[a(n)])/T)^2|P(f=1/T)|^2=1/(16T^2)|P(1/T)|^2$
Ora
$ p(t) = A pi(2 (4t-T)/(4T))=A pi(t/(T/2)-1/2)$ per cui ( il segno $pi$ lo intendo come finestra rettangolare, giusto?)
$P(f)=AT/2*e^(-jpifT/2)sinc(fT/2)$ dove per funzione $sinc(x)$ intendo $sinc(x)=(sen(pix))/(pix)$. Per cui
$|P(f)|^2=A^2T^2/4sinc^2(fT/2)$ e $|P(f=1/T)|^2=A^2T^2/4sinc^2(1/2)$ da cui
L'ampiezza della riga spettrale ad $f=1/T$ è pari a $A^2/64*sinc^2(1/2)$
Ora $sinc(1/2)=(sen(pi/2))/(pi/2)=2/pi$ da cui $sinc^2(1/2)=4/pi^2$ e quindi
L'ampiezza della riga spettrale ad $f=1/T$ è pari a $A^2/(16pi^2)$
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