Processi passabanda

[Kroldar]

Sia $X(t)$ un processo aleatorio passabanda, allora ha senso definire i processi (passabasso)

$X_c(t) = X(t) cos(2pif_0t) + hat X(t) sin(2pif_0t)$

$X_s(t) = hat X(t) cos(2pif_0t) - X(t) sin(2pif_0t)$

detti componenti in fase e in quadratura del processo $X(t)$, dove $hat X(t)$ rappresenta la trasformata di Hilbert di $X(t)$.

Risulta facile dimostrare che, se $X(t)$ è un processo passabanda, stazionario e a media nulla, allora $X_c(t)$ e $X_s(t)$ sono a media nulla e congiuntamente stazionari.

Ciò che mi riesce difficile dimostrare invece è che, se $X(t)$ è un processo passabanda, stazionario, a media nulla e gaussiano, $X_c(t)$ e $X_s(t)$ sono congiuntamente gaussiani. Come si dimostra questo? Non si ha alcuna informazione riguardo la PDF congiunta...

Se si indeboliscono le ipotesi, il risultato di cui sopra sussiste ancora? Nel senso: se $X(t)$ è un processo passabanda e gaussiano, allora $X_c(t)$ e $X_s(t)$ sono ancora congiuntamente gaussiani?

[luca.barletta]

Ciò che mi riesce difficile dimostrare invece è che, se $X(t)$ è un processo passabanda, stazionario, a media nulla e gaussiano, $X_c(t)$ e $X_s(t)$ sono congiuntamente gaussiani. Come si dimostra questo? Non si ha alcuna informazione riguardo la PDF congiunta...

prova a considerare che $x(t)=x_c(t)+jx_s(t)$, ora non dovrebbe essere difficile...

[Kroldar]

Ho provato a considerarlo, ma nessuno garantisce che un processo gaussiano sia combinazione lineare di processi congiuntamente gaussiani
Non ho proprio idea di come fare...

[luca.barletta]

nessuno garantisce che un processo gaussiano sia combinazione lineare di processi congiuntamente gaussiani

Attenzione: $X(t)=X_c(t)+jX_s(t)$ non è una combinazione lineari di processi, ma è, istante per istante, una combinazione lineare dei vettori base $[[1],[0]]^T$ e $j[[0],[1]]^T$.
Ora, il vettore $X=[X_c,X_s]$ è univocamente determinato dalla ddp congiunta dei processi $X_c,X_s$; dato che, per ipotesi, $X$ è gaussiano, allora $X_c(bart)$ e $X_s(bart)$ sono variabili aleatorie congiuntamente gaussiane.
Per poter dire che i processi $X_c$ e $X_s$, e non le v.a., sono cong. gaussiane, ci serve anche la stazionarietà. La media nulla ci tornerà comodo in quanto il momento del 2° ordine coinciderà con la varianza del processo.
Se vogliamo svincolarci anche dalla singola realizzazione dei processi, allora mettiamo anche l'ergodicità.

[Kroldar]

Attenzione: $X(t)=X_c(t)+jX_s(t)$ non è una combinazione lineari di processi, ma è, istante per istante, una combinazione lineare dei vettori base $[[1],[0]]^T$ e $j[[0],[1]]^T$.
Ora, il vettore $X=[X_c,X_s]$ è univocamente determinato dalla ddp congiunta dei processi $X_c,X_s$; dato che, per ipotesi, $X$ è gaussiano, allora $X_c(bart)$ e $X_s(bart)$ sono variabili aleatorie congiuntamente gaussiane.

Scusa ma non ci ho capito quasi nulla di questa prima parte.
Tra l'altro non è $X(t) = X_c(t) + jX_s(t)$, poiché $X_c(t) + jX_s(t)$ è l'espressione per l'equivalente passabasso di $X(t)$.
In ogni caso non mi è chiara la questione... io so che, comunque si prendano $t_1$ e $t_2$, $X(t_1)$ e $hat X(t_2)$ sono variabili aleatorie marginalmente gaussiane. La congiunta gaussianità delle componenti in fase e in quadratura non ho la minima idea di come possa scaturire...

[luca.barletta]

Tra l'altro non è $X(t) = X_c(t) + jX_s(t)$, poiché $X_c(t) + jX_s(t)$ è l'espressione per l'equivalente passabasso di $X(t)$.

ho mischiato un po' le carte in tavola, ma il succo del discorso non cambia, hai che:

$X(t)=X_c(t)cos(2pif_0t)-X_s(t)sin(2pif_0t)$

la base di rappresentazione scelta $(cos(2pif_0t),-sin(2pif_0t))$ è comunque ortogonale, quindi rispetto a prima cambia ben poco. Hai un vettore gaussiano $X$, e questo ti basta per dire che $(X_c(bart),X_s(bart))$ ha una ddp congiuntamente gaussiana; nota che ho messo $bart$ e non il generico $t$, perché sono le due variabili aleatorie $(X_c(bart),X_s(bart))$ ad essere cong. gaus., non i processi. Affinché i processi siano cong. gaus. allora dobbiamo aggiungere come ipotesi la stazionarietà, in questo modo comunque venga scelto $bart$ vale quello che abbiamo detto prima. Ok?

[Kroldar]

nota che ho messo $bart$ e non il generico $t$, perché sono le due variabili aleatorie $(X_c(bart),X_s(bart))$ ad essere cong. gaus., non i processi. Affinché i processi siano cong. gaus. allora dobbiamo aggiungere come ipotesi la stazionarietà, in questo modo comunque venga scelto $bart$ vale quello che abbiamo detto prima. Ok?

Certo questo è chiarissimo... una volta dimostrata la congiunta gaussianità il resto è molto chiaro

la base di rappresentazione scelta $(cos(2pif_0t),-sin(2pif_0t))$ è comunque ortogonale, quindi rispetto a prima cambia ben poco. Hai un vettore gaussiano $X$, e questo ti basta per dire che $(X_c(bart),X_s(bart))$ ha una ddp congiuntamente gaussiana;

Purtroppo è proprio questo il punto che non riesco a capire... Il Proakis-Salehi (credo tu lo conosca) non dimostra nulla e lo lascia come esercizio allo studente, però finora non sono state ancora introdotte funzioni di base e simili. Credo che si possa usare anche un metodo più immediato. O magari sono io che sono fuso per via dello studio... Potresti tentare di spiegarmi la cosa in modo ancor più elementare? Grazie in anticipo

[luca.barletta]

la base di rappresentazione scelta $(cos(2pif_0t),-sin(2pif_0t))$ è comunque ortogonale, quindi rispetto a prima cambia ben poco. Hai un vettore gaussiano $X$, e questo ti basta per dire che $(X_c(bart),X_s(bart))$ ha una ddp congiuntamente gaussiana;

Purtroppo è proprio questo il punto che non riesco a capire... Il Proakis-Salehi (credo tu lo conosca) non dimostra nulla e lo lascia come esercizio allo studente, però finora non sono state ancora introdotte funzioni di base e simili. Credo che si possa usare anche un metodo più immediato. O magari sono io che sono fuso per via dello studio... Potresti tentare di spiegarmi la cosa in modo ancor più elementare? Grazie in anticipo

In realtà è molto semplice: sappiamo che $X$ è un vettore gaussiano, e vogliamo dimostrare che $X_c$ e $X_s$ sono cong. gaus.; ora, se riusciamo ad esprimere le componenti di X come $(X_c,X_s)$ il gioco è fatto. Come fare? Basta che $X_c(t)$ e $X_s(t)$ siano i coefficienti della combinazione lineare di una base ortogonale; scegliendo opportunamente come base ${cos(omega_0t),-sin(omega_0t)}$ ci siamo, infatti abbiamo che:
$X(t)=X_c(t)cos(2pif_0t)-X_s(t)sin(2pif_0t)$