Teoria dei segnali

[Ene@]

Non avevo capito ciò che intendevi; tu devi calcolare $F_{Y}(\eta) = P(Y \le \eta) = P(3|X| \le \eta) = P(\eta \ge 3|X|)$.

Dato che $Y=3|x|$, allora se $\xi = -\frac{1}{3}$ risulta $\eta = 1$, se invece $\xi = \pm 1$ allora $\eta = 3$. Quindi

$F_{Y}(\eta) =$

$\int_{-\frac{\eta}{3}}^{\frac{\eta}{3}} \frac{5}{8} d \xi \quad "se " 0 \le \eta < 1$

$\int_{-\frac{\eta}{3}}^{-\frac{1}{3}} \frac{1}{4} d\xi + \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \frac{5}{8} d \xi + \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{\eta}{3}} \frac{5}{8} d\xi \quad "se " 1 \le \eta < 3$

$1 \quad "se " \eta \ge 3$

Perchè nel primo integrale compare la funzione $5/8$,mentre addirittura nell'altro caso vi sono tre integrali.... è questo che non capisco.

[Tipper]

Devi calcolare $P(\eta \ge 3|X|)$, considerando che la densità di probabilità di $X$ è diversa da zero solo in $[-1,1]$, ci capisce che la zona in cui devi integrare è quella rossa.
La densità di probabilità di $X$ cambia in $-1$, $-\frac{1}{3}$ e $1$, e in questi valori la variabile $Y$ assume $1$ e $3$.
Per $\eta < 0$ la funzione di distribuzione di $Y$ è nulla.
Per $0 \le \eta < 1$ devi integrare fra le rette di equazione $\xi = - \frac{\eta}{3}$ e $\xi = \frac{\eta}{3}$. Dato che $\xi \in \[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ la densità di probabilità di $X$ vale $\frac{5}{8}$, pertanto l'integranda è $\frac{5}{8}$.
Per $1 \le \eta < 3$ si integra fra $-\frac{\eta}{3}$ e $-\frac{1}{3}$ $\frac{1}{4}$, in questo intervallo è questo il valore assunto da $f_X(\cdot)$, poi si integra fra $-\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{3}$ $\frac{5}{8}$, poi ancora fra $\frac{1}{3}$ e la retta $\frac{\eta}{3} = \xi$ il valore $\frac{5}{8}$, che ancora è il valore assunto dalla densità di probabilità di $X$ in questo intervallo. Tutto questo si vede bene dal disegno.

[Ene@]

Grazie.

[Ene@]

Sia data una variabile aleatoria $X$ distribuita uniformemente in $[-2,2]$ e supponiamo che questa venga trasformata in accordo ad una funzione $g(x)$ rappresentata in figura:



Sia $Y$ la variabile aleatoria ottenuta dalla trasformazione.Calcolare la densità di probabilità di $Y$,la sua media e la sua varianza.

[Ene@]

Sia $X$ una variabile aleatoria distribuita uniformemente tra $-2$ e $4$. Sia inoltre $g(x)$ la funzione

$g(x)={(|x|-1,1<=|x|<=3),(1-x^2,|x|<=1),(0,"altrove"):}.

Sia $Y=g(X)$:calcolare densità di probabilità e il valor medio di $Y$.