[Scienza delle Costruzioni] Matrice di rotazione rigida

[Faffa]

Ciao a tutti, ho un problema riguardo la matrice di rotazione:
\begin{bmatrix}
0 & -\phi_z & \phi_y \\
\phi_z & 0 & -\phi_x \\
-\phi_y& \phi_x& 0
\end{bmatrix}

In quanto sul libro dice che è stata già trattata nel corso di meccanica razionale (anche se nel mio libro di m.c. non né parla minimamente) e quindi non spiega da dove esce e a cosa serve; ho provato a cercare su internet ma non ho trovato alcuna matrice di rotazione avente questa forma, o quanto meno non hanno questi elementi cioè zero sulla diagonale principale e così via.

Spero possiate allegarmi qualche documento o almeno accennarmi qualcosa, perché al momento mi sembra caduta dal cielo.

[Vulplasir]

Mmh stai trattando rotazioni/spostamenti infinitesimi? Perché la matrice di rotazione non è antisimmetrica, ma lo è in spostamenti infinitesimi, in generale, dato un campo di spostamenti $vecu$, si definisce:

1) tensore delle piccole deformazioni: $epsilon:=symgradvecu$
2) Tensore delle piccole rotazioni: $omega:=skwgradvecu$

[Faffa]

Si, sto continuando la trattazione del tensore di deformazione applicando ipotesi di piccole deformazioni, piccole componenti di spostamento ecc...
Infatti dice, analizzando l'espressione:
$\eta_Q = \eta_P + [J_p] * dr$

che dobbiamo scomporre $[J_P]$, la matrice Jacobiana, nella componente di rotazione rigida e nella componente di deformazione. A questo punto afferma che se ci fosse solo la rotazione, $[J_P]$ coinciderebbe con la matrice di rotazione rigida antisimmetrica già studiata in meccanica razionale, anche se sul mio libro non c'è !

Ma non capisco da dove esce questa matrice..... di tensore di piccole deformazioni e tensore di piccole rotazioni ancora non ne ha parlato

[Vulplasir]

La matrice di rotazione infinitesima, per farla semplice, puoi vederla come la matrice tale che, se derivata rispetto al tempo, ti restituisce la "velocità angolare" (come sai la velocità angolare non è un vettore ma un tensore, o matrice, antisimmetrico, ma data la sua antisimmetria, può venire rappresentato da un vettore, per una nota proprietà):

$omega=((0, -omega_z, omega_y), (omega_z, 0, -omega_x), (-omega_y, omega_x, 0))$

Questa è la velocità angolare di un corpo rigido, ogni termine di questa matrice la puoi vedere come la derivata rispetto al tempo del corrispondente angolo, posto quindi:

$dphi=((0,-dphi_z, dphi_y), (dphi_z, 0, -dphi_x), (-dphi_y, dphi_x, 0))$

Hai: $omega=(dphi)/(dt)$

$dphi$ è detta matrice delle rotazioni infinitesime

[Faffa]

Ok grazie mille, non avevo mai visto la matrice velocità angolare ma ho sempre visto solo il vettore associato

Né approfitto per chiedere un' altra cosa, su Wikipedia dice che:



$F= \frac{\partial x_1}{\partial X_1},$ cioè la prima matrice a destra dell'uguale la capisco ! Ma non capisco come passa all'altra matrice. Come fa ?

[Vulplasir]

Lo spostamento è definito come $u=x-X$, quindi $x=X+u$, in componenti:

$x_i=X_i+u_i$

Derivando:

$(partialx_i)/(partialX_i)=(partialX_i)/(partialX_i)+(partialu_i)/(partialX_i)=1+(partialu_i)/(partialX_i)$

[Faffa]

Ok perfetto ! Grazie mille



Un' ultima cosa (una curiosità) come mai un tensore antisimmetrico può essere rappresentato da un vettore ? come lo si dimostra ?

[Vulplasir]

Prendi il tensore della velocità angolare di prima $omega$ e moltiplicalo per un vettore $vecn$, ottieni un vettore $vecv=omegavecn$ di componenti:

$v_i=omega_(ij)n_j$

facendo i conti, si vede che le componenti di $vecv$ sono proprio quelle del prodotto vettoriale tra il "vettore" velocità angolare $vecomega=(omega_x, omega_y, omega_z)$ e $vecn$:

$vecv=vecomegaxxvecn$

Ovviamente al posto di $omega$ ci puoi mettere un qualsiasi tensore antissimmetrico, è la stessa cosa, quindi più formalmente:

Per ogni tensore antisimmetrico del secondo ordine $A$, esiste ed è unico un vettore $vecq$, detto "vettore assiale" tale che, per ogni $vecn$, risulti:

$Avecn=vecqxxvecn$

[Faffa]

Perfetto ! Ottima spiegazione, veramente chiara !!

[Cla1608]

scusate se riprendo questa vecchia discussione ... non mi ritrovo con i segni della matrice velocità angolare (sicuramente sto sbagliando qualcosa ma non capisco cosa), mi spiego:

$ omega =| ( omega_(x) ),( omega_(y) ),( omega_(z) ) | $

$ omega ^^ vec(OP) ={::}_(\ \ b)^(a) text(S)\cdot vec(OP) $ dove con $ {::}_(\ \ b)^(a) text(S) $ è la matrice velocità angolare e $vec(OP)$ indica la posizione del punto P preso in considerazione

Svolgendo i calcoli mi viene fuori che:

$ {::}_(\ \ b)^(a) text(S)=[ ( 0 , -omega_(z) , omega_(y) ),( -omega_(z) , 0 , omega_(x) ),( -omega_(y) , omega_(x) , 0 ) ] $

Controllato e ri-controllato ma non mi ci arriva proprio ... potete darmi un aiuto? Grazie

EDIT
Magari facendo il prodotto vettoriale in maniera corretta porta ... svelato il problema!!! Scusate