[Scienza delle Costruzioni] matrice delle deformazioni

[Faffa]

Ciao a tutti, non riesco a capire il libro come fa ad affermare questa relazione:
$[\epsilon'_P]=[N][\epsilon_P][N]^T$

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Dove $[\epsilon'_P]$ è il tensore delle deformazioni in un sistema di riferimento $n,m,l$ ruotato rispetto al sistema di riferimento $x,y,z$
$[\epsilon_P]$ è il tensore di deformazioni del sistema $x,y,z$
$[N]$ è la matrice di rotazione avente la forma:
\begin{bmatrix}
n_x &n_y &n_z \\
m_x &m_y &m_z \\
l_x &l_y &l_z
\end{bmatrix}


il libro afferma che quella relazione si può ottenere rapidamente sapendo solo che : il vettore spostamento ${\eta_n}$ di una fibra parallela al versore ${n}$ si ottiene mediante la formula:
${\eta_n}=[\epsilon_P]*{n}$
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Altro dubbio :
inoltre vorrei capire se questa relazione serve quando : dato un sistema di riferimento fisso $x,y,z$ e un un corpo inizialmente nella configurazione indeformata con le fibre che hanno direzione $x,y,z$, e, dopo la deformazione diventano parallele a una terna di assi qualsiasi NON più parallela a $x,y,z$, allora non usiamo la matrice di deformazione $[\epsilon_P]$ rispetto a $x,y,z$ ma dobbiamo ottenere una matrice $[\epsilon'_P]$ che tenga conto della direzione delle fibre del corpo che saranno parallele a $n,m,l$. Oppure significa altro?

[Vulplasir]

E' una conseguenza dell'invarianza della deformazione.

Fissata una certa base nello spazio. in un certo punto avremo un certo tensore delle piccole deformazioni $epsilon=epsilon_(ij)$, come dice il libro, lo spostamento $u$ in una certa direzione $n$ è dato da:

$u_i=epsilon_(ij)n_j$ (notzione di Einstein sulla somma sugli indici ripetuti)

E' ragionevole ritenere che lo spostamento misurato in seguito a una rotazione della base, lungo la stessa direzione, sia lo stesso, ossia data una rotazione $Q$ della base, il versore $n$ diventa $n'=Qn$, mentre la rappresentazione matriciale del tensore delle deformazioni diventa $epsilon'$, il fatto che lo spostamento debba essere lo stesso si esplicita come:

$Q(epsilonn)=epsilon'(Qn)$

Il termine a sinistra significa che si prende il vettore $u=epsilonn$ con le componenti nella prima base e attraverso il tensore di rotazione $Q$ si determinano le sue componenti nella nuova base, il termine a destra non è altro che il vettore spostamento misurato nella nuova base, quell'uguaglianza significa che devono essere uguali, ossia prendi il vettore u nella vecchia base, lo esprimi nella nuova base, questo deve essere uguale al vettore u misurato nella nuova base attraverso il nuovo tensore delle deformazioni $epsilon'$. Quell'uguaglianza deve valere per ogni $n$, il che implica:

$Qepsilon=epsilon'Q$ ossia:

$epsilon'=QepsilonQ^T$

Un tensore che si comporta in questo modo al variare della base si dice "tensore obiettivo", ossia in pratica, in qualsiasi base tu ti ponga la deformazione lungo la stessa direzione è la stessa.

Comunque si tratta di concetti che dovresti aver gia visto a meccanica razionale, il tensore di inerzia ha proprio questa proprietà.

[Faffa]

Ci sono alcune cose che non capisco, perché non c'è una figura
provo a farla così mi dici dove sbaglio; preso il nostro sistema, per semplicità piano, ho disegnato il nostro sistema $0xy$ e il nuovo sistema ruotato $0x'y'$ a questo punto disegno il punto $P$ che dopo la deformazione diventerà $P'$

schema

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dubbio : il punto $P$ visto dal primo sistema di riferimento sarà $P(x,y)$ mentre dopo la rotazione il sistema di riferimento $0x'y'$ vedrà un punto $M \ne P$ ? Quindi il punto $M$ dopo la deformazione diventerà $M'$ e quindi avremo un vettore ${u'}$ parallelo a ${u}$ ? Cioè:

schema2

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Oppure mi sto confondendo ? Ripeto senza una figura ho delle difficoltà

[Vulplasir]

No, P e P' restano dove sono, perché sono quantità assolute, cioè il punto P si trova in quel punto dello spazio e basta, sono le "coordinate" di quel punto che variano in base al sistema di riferimento scelto. La questione è appunto che, ruotando il sistema di riferimento, le coordinate di P e P' variano, ma P e P' restano dove sono, similmente l'espressione matriciale del tensore della deformazione varierà, il prodotto $epsilonn$, fatto nei due diversi sistemi, deve dare lo stesso risultato. Se tu fai il prodotto $epsilonn$ nel primo sistema di riferimento, ottieni un vettore $u$ espresso in coordinate nel primo sistema di riferimento, se tu fai il prodotto $epsilon'n'$, con $n'=Qn$ l'epsressione di $n$ nelle coordinate del nuovo sistema di riferimento, ottieni un vettore $u'$ espresso nelle coordinate del nuovo sistema di riferimento, per quanto detto, $u$ e $u'$ devono rappresentare "lo stesso vettore", indipendentemente dal sistema scelto, pertanto si prende $u$, espresso nelle coordinate del vecchio sistema e lo si esprime nelle coordinate del nuovo con $Qu$, deve quindi essere $Qu=u'$, quindi:

$Q(epsilonn)=epsilon'(Qn)$

[Faffa]

Ok adesso ho capito !

Ultime due cose:
Il tensore $\epsilon'$ lo si usa solo quando si ha una rotazione + deformazione ? Oppure è solo una dimostrazione per far capire che $\epsilon$ dipende dal sistema di riferimento ?
Dopo aver ottenuto $Q(\epsilon n) = \epsilon' (Q n)$ e quindi aver dimostrato che vale per ogni vettore, per eliminare $n$ dall'equazione come hai fatto ? cioè è lecito dire dato che vale per ogni vettore allora vale direttamente $Q\epsilon = \epsilon' Q$ senza fare alcun passaggio ?


Ti ringrazio molto per la mano che mi stai dando !

[Vulplasir]

$epsilon$ ed $epsilon'$ sono la stessa cosa, ossia il tensore della deformazione, è la loro rappresentazione che è diversa, perché la rappresentazione matriciale di un tensore dipende dalla base scelta, ma ciascuno dei due, nella propria base, determina la stessa deformazione. Quella formula non ha niente a che fare con rotazione+deformazione o quella roba sulle basi solidali di cui parlavi prima, è solo la formula (abbastanza nota, che mi sembra strano tu non abbia mai visto...) che esprime coma varia l'espressione di una matrice (o tensore) al variare della base...cioè se tu conosci l'espressione matriciale del tensore della deformazione in una qualche base, e ti trovi in una qualche base diversa, per ottenere l'espressione del tensore nella tua base diversa applichi quella formula.

cioè è lecito dire dato che vale per ogni vettore allora vale direttamente Qε=ε'Q senza fare alcun passaggio ?

SI, è lecito, essendo $n$ arbitrario (metodo usato per esempio per dimostrare la relazione di Poisson sulla velocità angolare, oppure le equazioni di Lagrange, basandosi sull'arbitrarietà di uno spostamento virtuale $deltaq$, oppure ancora le equazioni di bilancio locale in meccanica dei continui, basandosi sull'arbitrarietà di un sottoinsieme del corpo che si studia...etc)

[Faffa]

Ok grazie mille adesso è davvero tutto chiaro