L'ho spiegato nel primo post del thread.
Io a priori non considero nessun campo irrotazionale. Impongo una condizione ad un sistema di ruote dentate in cui il satellite gioca la parte della sferetta test, mentre le primitive simulano le linee di flusso che trascinano la sferetta e la fanno ruotare. La condizione è che la velocità angolare della sferetta sia uguale in modulo ma opposta in verso a quella del suo centro, per simulare il fatto che la microcircolazione e la macrocircolazione si elidono.
Svolgendo i conti e passando al continuo ottengo un campo di velocità che decresce con l'inverso del raggio e che è quindi irrotazionale (vedi primo post). Sono riuscito a dimostrare, con un po' di calcolo differenziale, che per un campo vettoriale rotante, $vec(v)=vec(omega)xx vec(r)$ , in cui immergo una sferetta di raggio $ r_s"<"<"1 $ libera di ruotare seguendo il flusso, il rotore è proprio la somma vettoriale della velocità angolare della sferetta e del campo vettoriale nel punto di applicazione della sferetta, i.e.
$ rotvec(v)= vec(omega_s) + vec(omega(r)) $
Per cui
$ rotvecv=0 hArr vecomega_s=-vecomega(r) $
condizione imposta a priori nelle ruote dentate.
L'uguaglianza funziona nelle varie casistiche, quando ad esempio tutte le ruote dentate si muovono con la stessa velocità angolare : $ rotvec(v)= 2vec(omega_s) =2vec(omega(r)) $ , oppure quando tutte le ruote si muovono con la stessa velocità tangenziale $ rotvec(v)=vecomega(r)$ essendo $vecomega_s=vec0$ . Nel caso in cui il campo non sia rotante ho la semplice uguaglianza $ rotvec(v)= vec(omega_s)$, essendo $vec(omega(r))=vec0 $ , non potendo scriverlo come $vec(v)=vec(omega)xx vec(r)$.
Direi quindi che il sistema di ruote dentate epicicloidali è "isomorfo" ad un campo vettoriale rotante $vec(v)=vec(omega)xx vec(r)$.
Tuttavia se la misurazione è a punto fisso le ruote dentate non vanno più bene per descrivere la situazione . In questo caso per i campi vettoriali più semplici è facile mostrare che
$vecomega_s=2rotvecv$
Essendo $ r_s"<"<"1 $ potrei ipotizzare che questa regola valga sempre, in modo tale che la velocità angolare della sferetta fissata in un punto sia nulla quando il rotore è nullo, che è quello che sembra ci si debba aspettare.
Quello che mi sconcerta è che sommando tutti i contributi dei vettori tangenti alle linee di flusso proiettati sui versori tangenti alla circonferenza della sferetta :
ottengo che questa ha velocità angolare nulla quando il campo di velocità scala come r al quadrato, mentre se il campo di velocità scala con r ed è quindi irrotazionale la sferetta ha velocità angolare nulla solo nel caso in cui sia sufficientemente piccola rispetto alle dimensioni del flusso.
da TheScientist » 09/07/2018, 23:03 
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