Dubbio "dimensionale" su equazione

[merendina_89]

Buongiorno a tutti,
vi posto un dubbio che ho, per cercare di capire se ho preso bene degli appunti, e se eventualmente ho interpretato correttamente i passaggi di una banale equazione.
Sto cercando di risolvere il dubbio che ho tramite libri, ma purtroppo molti libri forniscono già il risultato senza i rispettivi passaggi, e ciò non mi consente di comprendere se ho fatto correttamente oppure no.
Senza dover riportare tutti i passaggi, mi limito a esporre di sotto il dubbio.
Sto cercando di ricavare la relazione di potenza elettrica di un impianto eolico e, come noto, sappiamo che vale la seguente.
\(\displaystyle P=\frac{dE}{dt} \)
Essendo l'energia cinetica associata alla pala meccanica in movimento pari alla seguente:
\(\displaystyle E=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 \)
si ha che:
\(\displaystyle P=\frac{d}{dt}\cdot ( \frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 )\ \)
(chiedo scusa se posso averla scritta in maniera non perfettamente idonea raccogliendo tra parentesi, ma il senso è comunque quello di derivare rispetto al tempo l'espressione di energia sopra riportata).
Definito ciò, nei miei appunti e in quelli dei colleghi ritrovo la seguente uguaglianza:
\(\displaystyle P=\frac{1}{2}\cdot M \cdot v^2 \)
dove \(\displaystyle m \) rappresenta la massa (espressa dunque in Kg) invece \(\displaystyle M \) rappresenta la portata massica (espressa dunque in Kg/s).
La mia ipotesi a riguardo è la seguente:
Si sta considerando la relazione sopra riportata nell'ipotesi di considerare un intervallo unitario temporale (ad esempio 1 secondo), approssimazione che fa anche precedentemente in un'altra dimostrazione;
In ogni caso dimensionalmente torna, perché ovviamente la portata massica è il rapporto tra la massa ed il tempo.
Grazie mille a tutti in anticipo.
Buon fine settimana.
PS Mi sono permesso di inserire come etichette "Fisica Tecnica, Meccanica delle macchine" ritenendo che, seppur indirettamente, si potesse avere un collegamento tra queste.

[anonymous_40e072]

C'è un bel po' di confusione. Proviamo a fare un po' di ordine.

Buongiorno a tutti,
vi posto un dubbio che ho, per cercare di capire se ho preso bene degli appunti, e se eventualmente ho interpretato correttamente i passaggi di una banale equazione.
Sto cercando di risolvere il dubbio che ho tramite libri, ma purtroppo molti libri forniscono già il risultato senza i rispettivi passaggi, e ciò non mi consente di comprendere se ho fatto correttamente oppure no.
Senza dover riportare tutti i passaggi, mi limito a esporre di sotto il dubbio.
Sto cercando di ricavare la relazione di potenza elettrica di un impianto eolico e, come noto, sappiamo che vale la seguente.

Potenza elettrica? Immagino intendessi potenza meccanica. Detto che si parli di potenza meccanica, bisogna poi chiarire se si parla di energia (potenza) associata al fluido o di energia (potenza) trasmessa alle pale. A quale delle due ti riferisci?

\(\displaystyle P=\frac{dE}{dt} \)
Essendo l'energia cinetica associata alla pala meccanica in movimento pari alla seguente:
\(\displaystyle E=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 \)

Se poi dopo mi trasformi la massa in portata massica, non stai sicuramente parlando della potenza associata alla pala meccanica. Per altro, della potenza meccanica "delle pale" (inteso, propria delle pale) non si parla mai a meno che tu non stia facendo un'analisi dinamica.
Ragiona. Derivi la massa rispetto il tempo. La "massa delle pale" varia? No. Quello a cui ti stai riferendo è la potenza dovuta al flusso (d'aria, incomprimibile, nel caso di applicazioni eoliche) che passa attraverso le pale.

si ha che:
\(\displaystyle P=\frac{d}{dt}\cdot ( \frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 )\ \)
(chiedo scusa se posso averla scritta in maniera non perfettamente idonea raccogliendo tra parentesi, ma il senso è comunque quello di derivare rispetto al tempo l'espressione di energia sopra riportata).

Va bene scriverla così. E' corretto.

Definito ciò, nei miei appunti e in quelli dei colleghi ritrovo la seguente uguaglianza:
\(\displaystyle P=\frac{1}{2}\cdot M \cdot v^2 \)
dove \(\displaystyle m \) rappresenta la massa (espressa dunque in Kg) invece \(\displaystyle M \) rappresenta la portata massica (espressa dunque in Kg/s).

La portata massica, così come generalmente tutte le derivate rispetto il tempo, si scrivono con un "puntino" sopra la grandezza fisica. Questa è una convenzione molto usata. Chiaramente il formalismo è di per sè una convenzione e non si può ritenere un "errore" usarne una diversa. Per un fattore di chiarezza, è bene però adeguarsi.
Nel caso della portata massica, scrivo quindi:

$$ \dot{m} $$

Intendendo dunque:

$$ \frac{dm}{dt}=\dot{m} $$

La mia ipotesi a riguardo è la seguente:
Si sta considerando la relazione sopra riportata nell'ipotesi di considerare un intervallo unitario temporale (ad esempio 1 secondo),

Non si fa nessuna ipotesi. La derivata è il limite del rapporto incrementale. Per definizione la grandezza derivata E' la variazione di tale grandezza rispetto una variazione infinitesima della grandezza rispetto cui è derivata.

approssimazione che fa anche precedentemente in un'altra dimostrazione;

Fa chi? E quale dimostrazione?

In ogni caso dimensionalmente torna, perché ovviamente la portata massica è il rapporto tra la massa ed il tempo.
Grazie mille a tutti in anticipo.
Buon fine settimana.
PS Mi sono permesso di inserire come etichette "Fisica Tecnica, Meccanica delle macchine" ritenendo che, seppur indirettamente, si potesse avere un collegamento tra queste.

Ma qual è la domanda?

[merendina_89]

C'è un bel po' di confusione. Proviamo a fare un po' di ordine.

Eh già, ho fatto due-tre gauffe "pesantuccie".
Tutto chiaro in merito alle osservazioni che mi hai fatto, compresa quella in cui mi hai fatto notare che nel momento in cui considero la portata massica è evidente che mi riferisco alla potenza meccanica associata al fluido (aria).

Ma qual è la domanda?

La domanda è la seguente:
Quale delle due relazioni è corretta?
\(\displaystyle P=\frac{1}{2}\cdot \dot{m} \cdot v^2 \)
\(\displaystyle P=\frac{d}{dt}\cdot ( \frac{1}{2}\cdot \dot{m} \cdot v^2 )\ \)
\(\displaystyle P=\frac{d}{dt}\cdot ( \frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2 )\ \)
Io risponderei così:
La prima relazione in alto è corretta, e infatti dimensionalmente è una potenza, intendendo il fatto che è definita in una certa unità di tempo (ad esempio, 1 secondo).
La seconda relazione non è corretta, e dimensionalmente non torna.
La terza relazione, quella più in basso, non è corretta, e infatti dimensionalmente non torna.

[anonymous_40e072]

La prima e la terza sono corrette ovviamente, la seconda è errata. Farei un discorso un po' più ampio però, stai mischiando concetti potenzialmente complessi senza avere chiare le conoscenze di base. Mi sembra tu stia andando a tentativi. Se vuoi usare un approccio matematico alla fisica, bisogna assolutamente riflettere a fondo su assunzioni e passaggi.

Partiamo dal concetto di potenza. In ingegneria parliamo di potenza in genere quando vogliamo sapere l'energia prodotta/consumata/trasmessa per unità di tempo attraverso un certo processo. Definiamo la grandezza potenza P come:

$$ P = \frac{dE}{dt} , \qquad [W]=[J/s] $$

Dove l'energia E può essere di principio qualunque cosa tu voglia: cinetica, termica, chimica, quel che vuoi.
In energetica, o meglio, in conversione dell'energia, le due grandezze che di solito ci interessano di più sono: potenza disponibile e potenza utile. Per mezzo di successivi processi di conversione determino quanta di quella potenza "disponibile" riesco/posso convertire in "potenza utile". Nell'energetica si analizzano i processi di conversione quasi sempre in termini di flussi, deviando un pochino dalle definizioni che si possono per esempio affrontare in un corso introduttivo universitario di Fisica classica.
Facciamo un piccolo excursus proprio su questo. Un Fisico potrebbe facilmente farmi le pulci, ma lo scopo è quello di farti passare il concetto; non eccederò quindi nel formalismo.
L'energia cinetica di un corpo in movimento è:

$$ Ec=1/2 mv^2 $$

Facciamo un po' i pedanti e assumiamo ora una dipendenza dal tempo. In altri termini, l'andamento nel tempo dell'energia cinetica del nostro corpo sarà descritta dalla funzione:

$$ Ec(t)=1/2 m(t)v^2(t) $$

Quindi, l'energia cinetica del nostro corpo può variare nel tempo se e solo se varia almeno una tra la sua massa e la sua velocità. Se assumiamo il corpo: rigido, indeformabile e non consumabile, l'unica grandezza che può variare è la velocità. Quindi:

$$ Ec(t)=1/2 mv^2(t) $$

Ora, applichiamo la definizione di potenza:

$$ P(t) = \frac{dEc(t)}{dt}=1/2 m*2v \frac{dv(t)}{dt} = m*v*\frac{dv(t)}{dt} = v*ma = v(t)*F(t) $$

Ci dice che cosa quest'espressione? La variazione di energia cinetica del corpo sarà funzione dell'intervento di una qualche forza. Una forza di attrito (il corpo viene rallentato), una forza esterna imposta da noi (il corpo accelera/decelera seguendo la direzione della forza).
Chiaramente, allo stesso modo, nessuno mi vieta di definire in modo simile l'energia cinetica associata ad una massa d'aria. Posso sicuramente scrivere che una generica massa d'aria m che si muove a velocità v possiede un'energia cinetica pari a:

$$ Ec(t)=1/2 m(t)v^2(t) $$

Genericamente variabile nel tempo.
Nella situazione di nostro interesse tuttavia, non vogliamo descrivere la "storia" di una certa massa d'aria che passa attraverso la turbina. Vogliamo porci staticamente in un punto e quantificare quanta "energia passa nell'unità di tempo", in altri termini, quantificare il flusso di energia. Questo flusso, questa energia per unità di tempo, è per definizione, anch'essa una potenza.
Proviamo a farlo.
Poniamoci in un punto, fisso e poniamo un sistema di riferimento statico.
Immaginiamo una sezione, o superficie, di dimensione S, statica e ortogonale al flusso di aria. La sezione è inerte e lascia semplicemente il flusso d'aria passarci attraverso. Assumiamo anche che il flusso d'aria non cambi le sue caratteristiche nel tempo e che sia uniforme, ergo la velocità dell'aria attraverso la sezione sarà costante nel tempo e lungo ogni punto della superficie. La massa è invece una funzione del tempo: come il tempo passa, più massa ha attraversato la sezione. L'espressione dell'energia cinetica della massa che ha attraversato la sezione S sarà dunque:

$$ Ec(t)=1/2 m(t) v^2 $$

Mentre, il flusso di energia cinetica (o potenza meccanica fluente) è:

$$ P = \frac{dEc(t)}{dt} = \frac{d}{dt} (1/2 m(t) v^2 ) = 1/2 v^2 \frac{dm(t)}{dt} = 1/2 v^2 \dot{m} $$

Dove la massa che per unità di tempo attraversa la superficie S prende il nome di portata:

$$ \dot{m} $$

Nelle condizioni assunte, dove le condizioni del flusso non cambiano nel tempo (dette condizioni stazionarie) la portata si può scrivere come:

$$ \dot{m} = \rho S v $$

Dove rho è la densità dell'aria. Sostituendo, la potenza disponibile del flusso ventoso è data da:

$$ P = 1/2 \rho S v^3 $$

Come visto, l'approccio nei due casi (corpo rigido e flusso d'aria) è concettualmente diverso. Da una parte, definiamo la potenza dall'energia cinetica come la variazione dell'energia del corpo rigido, "seguendo" il corpo rigido stesso. Nel secondo caso, non definiamo la potenza come variazione dell'energia cinetica della massa d'aria (se la "seguissimo" come nel caso del corpo rigido, questa non cambierebbe), ma piuttosto come "quantità di energia che passa nell'unità di tempo". Dimensionalmente sono sempre due potenze (e non bisogna granchè arrovellarsi in un certo senso; basta che sappia che ho un'energia nell'unità di tempo - ossia Watt=Joule/secondi), ma il significato fisico è differente.

P.S. Per definire propriamente i flussi avrei dovuto usare gli integrali. Non l'ho fatto per semplificare.

[anonymous_40e072]

Aggiungo solo un'ultima considerazione. Se ti interessa approfondire, puoi digitare "teoria di Betz" per una trattazione dettagliata su come Betz abbia definito un limite massimo per il rendimento di una turbina eolica. Il valore è di 0.593. In altri termini, posso estrarre e trasmettere alle pale da una corrente d'aria al massimo il 59,3% dell'energia. Chiaramente a questo fattore bisogna poi diminuire i vari rendimenti elettrici, organici, ecc.

[merendina_89]

perdonami il ritardo iSte, sei stato gentilissimo.
Grazie mille, e scusami il ritardo, ero convinto di averti risposto!!
A presto

[anonymous_40e072]

perdonami il ritardo iSte, sei stato gentilissimo.
Grazie mille, e scusami il ritardo, ero convinto di averti risposto!!
A presto

Figurati, ciao!

Stefano