[Riscaldamento per induzione]

[Hench]

Buongiorno, ho un problema inerente a un'applicazione di riscaldamento a induzione.
L'applicazione è molto simile a un piano cottura a induzione.
Ho un bobina piana circolare a 28 spire con diam int 10mm e diametro esterno 160mm.
Faccio scorrere una corrente alternata monofase di 4A con frequenza 50Hz e tensione 220V.
Sopra alla bobina c'è una piastra rettangolare (200x220mm) di materiale isolante di spessore 10mm, su cui è centrato un pezzo di metallo (acciaio C40) con diametro 100mm e spessore 15mm.
Non so come calcolare il campo magnetico generato dalla bobina, le corrente parassite indotte nel pezzo di metallo e la conseguente temperatura del pezzo.
Vorrei determinare una procedura di calcolo per creare un modello matematico.
Qualcuno si è mai imbattuto in un problema del genere e mi potrebbe aiutare?
Grazie mille.

[ingres]

Credo che ormai serva poco a chi ha proposto il problema, che è però molto interessante e al quale cerco di delineare qui una soluzione approssimata, in quanto la soluzione analitica è senza dubbio molto complessa e quella numerica va eseguita con programmi specializzati. Vi sono 3 problemi da analizzare:

1) Il campo magnetico prodotto dalla bobina planare
2) La potenza termica sviluppata dalle correnti parassite
3) La temperatura del pezzo

Per risolvere il punto 1 in modo approssimato, possiamo considerare il campo sull'asse perpendicolare al piano della bobina. Il campo creato da una singola spira circolare di raggio R in un punto a distanza z dal centro della bobina si trova su tutti i libri di Fisica e vale:

$B = (mu_0*i)/2 * R^2/(R^2+z^2)^(3/2)$

Possiamo interpretare la bobina come una distribuzione continua di corrente di densità:
$I_s= (NI)/(R_e-R_i)$

e quindi come un insieme di infinite spire circolari elementari di raggio r e corrente $i = I_s*dr$ . Con questa rappresentazione si trova integrando tra raggio interno ed esterno:

$B =(mu_0*NI)/(2 *(R_e-R_i))* ((Sinh)^-1 (R_e/z)- (Sinh)^-1 (R_i/z)-R_e/(R_e^2+z^2)^(1/2)+R_i/(R_i^2+z^2)^(1/2))$

Questo campo diretto perpendicolarmente all'asse della bobina è formalmente valido solo al centro e non tiene conto dell'effetto magnetico delle correnti parassite, ma in prima approssimazione possiamo assumerlo costante lungo tutto il pezzo di metallo ponendo z pari al punto mediano del metallo. Poichè inoltre $I = I_0*sin(omega*t)$, il campo potrà anche essere scritto come:
$B=B_0*sin(omega*t)$

2) Per trovare la potenza dissipata nel metallo per effetto delle correnti parassite possiamo utilizzare la formula

$P = pi/16*(w*mu_r^2*B_0^2*omega^2)/rho*r_0^4$

essendo w lo spessore del metallo, $r_0$ il suo raggio e $omega=2*pi*f$ (si veda https://olewitthansen.dk/Physics/The_ph ... stoves.pdf)

3) Infine la temperatura del metallo T (ipotizzata uniforme ovvero con numero di Biot Bi<0.1) dovrà essere tale da soddisfare l'equazione di conservazione dell'energia

$C*(dT)/(dt) = P - alpha*S*(T-T_a)$

essendo C la capacità termica del metallo e $alpha$ il coefficiente di convezione con l'aria esterna e S la superficie di scambio. A regime

$T = T_a+P/(alpha*S)$